【１】２^m元ガロア体の原始多項式

ｍ＝４の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

ｍ＝２の場合、π(x)=1+x+x^2

ｍ＝３の場合、π(x)=1+x+x^3

ｍ＝４の場合、π(x)=1+x+x^4

ｍ＝５の場合、π(x)=1+x^2+x^5

ｍ＝６の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

GF(2^4)の生成では

　　π(x)=1+x+x^4

の原始元x=αを利用することによって、位数16の有限体

　　{0,α^0,α^1,α^2,・・・,α^14}、α^15=α^0=1

を生成した。異なる原始元はいくつあるのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

α^nは(n,15)=1のときに限って原始元になるので、φ(15)=8である。

すなわち、α^2,α^4,α^7,α^8,α^11,α^13,α^14は他の原始元である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

一般にGF(p^m)の元α^nの位数は(p^m-1)/((n,p^m-1)である。

α^3,α^6,α^9,α^12は位数5

α^5,α^10は位数3をもつ。

位数Tをもつ元の個数はφ(T)であり、Ｔはp^m-1の約数でなければならない。

T=1の元は一つだけであって、α^0=1だけである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

GF(3^3)の生成では

　　π(x)=1+2x+x^3

の原始元x=αを利用することによって、位数27の有限体

　　{0,α^0,α^1,α^2,・・・,α^25}、α^26=α^0=1

を生成した。異なる原始元はいくつあるのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

α^nは(n,26)=1のときに限って原始元になるので、φ(26)=12である。

α^3,α^5,α^7,α^9,α^11、α^15,α^17,α^19,α^21、α^23、α^25は他の原始元である。

α^2,α^4,α^6,α^8,α^12、α^14,α^16,α^18,α^20,α^22、α^24のうち

α^2,α^4,α^6,・・・は位数13

α^13は位数2をもつ。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝