【４】１６元ガロア体の生成

ここでは、既約多項式π(x)=1+x+x^4と原始元α=(0,1,0,0)=xを利用して位数16の有限体を生成したい。

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1+x+x^4を法とする剰余簡約では、1の要素αから始め、次にα=xをかけるので、1が右から消えるとき、一番左側の2つの位置に2を法として1を加えることに対応している

すなわち、

(0,0,0,0)=0

(1,0,0,0)=1

(0,1,0,0)=x

(0,0,1,0)=x^2

(0,0,0,1)=x^3

(1,1,0,0)=1+x

(0,1,1,0)=x+x^2

(0,0,1,1)=x^2+x^3

(1,1,0,1)=1+x+x^3

(1,0,1,0)=1+x^2

(0,1,0,1)=x+x^3

(1,1,1,0)=1+x+x^2

(0,1,1,1)=x+x^2+x^3

(1,1,1,1)=1+x+x^2+x3

(1,0,1,1)=1+x^2+x^3

(1,0,0,1)=1+x^3

(1,0,0,0)=1

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０元を除外すると、GF(2^4)に対して1周期が

{ak}=100010011010111

のような2進数の周期数列を作ることができる。

この数列は初期条件a1=1,a2=a3=a4=0をもつ漸化式

ak+4=ak+1+akによって生成される。

x^4=x+1=x^1+x^0

とおくことに対応するπ(x)=x^4+x+1を法とする剰余簡約を選ぶことができる。

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