ｐが素数であるとき、ｐ^m個の元をもつ有限体は重要であるが、たとえば、ｍ＝2、4個の要素をもっている有限体を

　　F4={0,1,2,3}

で解釈しようとすると

2・2=4=0

したがって、2ｘ＝0は2つの解ｘ＝0，ｘ＝2をもつし

2x=1は解をもたない。言い換えれば２の逆数は存在せず、これでは体を構成できない。

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それではどのようにして4つの要素をもつ体を構成するのか？

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【１】４元ガロア体

スカラー関数ではなく、ベクトル関数を選ぶのである。

{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}

加算は繰り上げを除けば要素ごとに行う。

（1，0）＋（0，1）＝（1、1）

（1，1）＋（1，0）＝（0、1）

乗算は（0，0）を0要素、（1，0）を1要素と定めると

残り2つの要素は逆要素でなければならないので

（0，1）・（1，1）＝（1、0）

（0，1）・（0，1）＝（1、1）

などと決めることができる

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【２】８元ガロア体

乗算は（0，0、0）を0要素、（1，0、0）を1要素と定めると

右方向への桁移動によって、

g^1=(0,1,0)

g^2=(0,0,1)

さらに右側で消えた各1に対して、２を法とし２か所の左側の位置に各々の1を加えると

g^3=(1,1,0)

g^4=(0,1,1)

g^5=(1,1,1)

g^6=(1,0,1)

g^7=(1,0,0)=g^0

g^8=(0,1,0)=g^1

などとすることができる。

2進数の誤り訂正符号は８元ガロア体の重要な応用である。

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