正多角形の作図は円周等分問題という幾何学問題ですが，ｘ^n −１＝０という代数方程式の解と密接な関係にあります．また，定規とコンパスで描ける図形は直線と円ですから，その作図は線分の長さの加減乗除と平方根をとる操作に相当します．すなわち，定規（直線）とコンパス（円）による作図は，たとえそれらを繰り返し用いたとしても，＋，−，×，÷，√なる５つの演算によって得られるものに限られています．

　　ｚ^2−１＝（ｚ−１）（ｚ＋１）

　　ｚ^3−１＝（ｚ−１）（ｚ^2＋ｚ＋１）

　　ｚ^4−１＝（ｚ^2−１）（ｚ^2＋１）

は２次方程式に帰着できますが，ｎ＝５の場合

　　ｚ^5−１＝（ｚ−１）（ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１）

の右辺には４次方程式があるので，一見不可能に見えますが，２次以下に因数分解できます．ｚ＋１／ｚ＝ｘとおけばよいのです．正５角形の作図は黄金比と関連していて，２次方程式：ｘ^2 −ｘ−１＝０を解く，すなわち（√５＋１）／２を求めることによって可能となりました．ギリシャ人は黄金分割を用いた見事な方法で正五角形の作図に成功したのですが，この方法は二次方程式の幾何学的解法を利用した賢明な方法といえます．

［補］ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式

　　ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^8でわり，

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）

と変数変換すると２次方程式

　　ｙ^2＋ｙ−１＝０

に帰着され，

　　ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）

　　ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４

が得られる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ｚ^6−１＝（ｚ^2）^3−１

　　ｚ^8−１＝（ｚ^2）^4−１

なので，それぞれ正三角形，正方形に対する角度を求め，それを二等分することによって幾何学的に解けます．

　　ｚ^9−１＝（ｚ^3）^3−１

は正三角形に対する角度を求め，それを三等分する必要がありますが，これは不可能です．

　　ｚ^7−１＝（ｚ−１）（ｚ^6＋ｚ^5ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１）

も幾何学的に解くのは無理です．正７角形，正９角形はそれぞれ３次方程式：ｘ^3 ＋ｘ^2 −２ｘ−１＝０，ｘ^3 −３ｘ＋１＝０に帰着します．したがって，正７角形，正９角形の作図のように３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けません．

　ｎ＝１０〜１４は省略．ｎ＝１５は２つの異なるフェルマー数の積です．実際，正三角形（１２０°）と正五角形（７２°）の差４８°の半分として正十五角形（２４°）を幾何学的に作ることができます．ｎ＝５１，８５，３５５も異なるフェルマー数の積で作図可能です．

　ｎ＝１７の場合は，ｎ＝５の場合にもう１ステップ要しますが，全く同様に得ることができます．

［補］１６次方程式

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^8でわり，

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／１７）

と変数変換をし，最後に２次方程式に帰着させると失敗する．

　　ｚ＝ｘ^4＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^4

　　ｗ＝ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^2＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^2＋１／ｘ^4＋１／ｘ^8

と変数変換する手がある．

　　ζ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

　　ｙ＝ζ＋ζ^-1＝２ｃｏｓ（２π／１７）

　　ｙ’＝ζ^4＋ζ^-4

　　ｚ＝ζ＋ζ^4＋ζ^-1＋ζ^-4

　　ｚ’＝ζ^2＋ζ^8＋ζ^-2＋ζ^-8

　　ｗ＝ζ＋ζ^2＋ζ^4＋ζ^8＋ζ^-1＋ζ^-2＋ζ^-4＋ζ^-8

　　ｗ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^6＋ζ^7＋ζ^-3＋ζ^-5＋ζ^-6＋ζ^-7

とおく．

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

より，ｗ＋ｗ’＝−１，ｗｗ’＝−４となるから，ｗはｘ^2＋ｘ−４＝０の根．　　ｗ＝（√１７−１）／２＝１．５６１５５

　同様に，

　　ｚ＋ｚ’＝ｗ，ｚｚ’＝−１となるから，ｚはｘ^2−ｗｘ−１＝０の根．　　ｚ＝（ｗ＋√（ｗ^2＋４））／２＝（−１＋√１７＋√（３４−２√１７））／４＝２．０４９４８

　　ｙ＋ｙ’＝ｚ，ｙｙ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^-3＋ζ^-5＝ｚ”，ｚ”’＝ζ^6＋ζ^7＋ζ^-6＋ζ^-7とおくと，

　　ｚ”＋ｚ”’＝ｗ’，ｚ”ｚ”’＝−１

となるから，ｚ”はｘ^2−ｗ’ｘ−１＝０の根．

　　ｚ”＝（−１−√１７＋√（３４＋２√１７））／４

　ｙはｘ^2−ｙｘ＋ｙ”＝０の根より，

　　ｙ＝２ｃｏｓ（２π／１７）＝１／８｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝＝１．８６４９４

が得られる．

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　アルキメデスは円柱とそれに内接する球の体積比が３：２であることを発見した記念に，自分の墓の上に円柱の形をした記念碑をおくように遺言したといわれています．アルキメデスと同じように，ガウスは正１７角形を墓石に彫るよう遺言しています．このことはガウス自身がその発見をいかに重視したかを物語っています．数々の大発見をしたガウスですが，１９才の青年がアルキメデスをもってしてもできなかった古代ギリシア以来２０００年の謎を解いたのですから，まさに驚きとしかいいようがありません．この正１７角形の作図は彼を本格的に数学の道に入らせるきっかけとなったといわれています．

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