［１］アイゼンシュタインの基準

　ｆ（ｘ）＝ａnｘ^n＋・・・＋ａ0

　ｐを素数とする．

　ａ）ａnはｐで割り切れない．

　ｂ）ａn-1，・・・，ａ0はｐで割り切れる．

　ｃ）ａ0はｐ^2で割り切れない．

のとき，既約多項式である．（ｆ（ｘ）はＱ上既約）

（証）ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）とする．

　　ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）＝ａnｘ^n　　（ｍｏｄｐ）

　ｇ，ｈの主係数を除くすべての係数はｐの倍数であるから，ｐ^2はｂ0ｃ0＝ａ0を割り切る．

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　ｘ^5−８０ｘ−５＝０は代数的には解けない方程式です．（ｆ（ｘ）はＱ上既約）

　ａ）１は５で割り切れない．

　ｂ）８０，５は５で割り切れる．

　ｃ）１は２５で割り切れない．

　ｘ^3+６ｘ−２＝０は代数的には解けない方程式です．（ｆ（ｘ）はＱ上既約でない）

　ａ）１は２で割り切れない．

　ｂ）６，２は２で割り切れる．

　ｃ）１は４で割り切れない．

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　ｆ（ｘ）＝ｘ^4−１０ｘ^2+１（ｆ（ｘ）はＱ上既約）

ｆ（ｘ）＝(x-a)(x^3+bx^2+cx+d),　　　a,b,c,dは整数

-ad=1,a,dは整数であるからa=+/-1,

しかしf(a)=-8≠0よりこれは矛盾。

ｆ（ｘ）＝(x^2+ax+b)(x^2+a'x+c),　　　a,a',b,cは整数

a+a'=0

ｆ（ｘ）＝(x^2+ax+b)(x^2-ax+c)=x^4+(b+c-a^2)x^2+a(c-b)+bc

a^2-b-c=10

a=0またはb=c

b=+/-1,c=+/-1

a=0とするとb+c=-10、これは矛盾。

b=cとするとa^2=12またはa^2=8,これも矛盾。

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