最も有名な既約性判定基準はアイゼンシュタインの基準であるが，ペロンの基準も知られている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］アイゼンシュタインの基準

　ｆ（ｘ）＝ａnｘ^n＋・・・＋ａ0

　ｐを素数とする．

　ａ）ａnはｐで割り切れない．

　ｂ）ａn-1，・・・，ａ0はｐで割り切れる．

　ｃ）ａ0はｐ^2で割り切れない．

のとき，既約多項式である．（ｆ（ｘ）はＱ上既約）

（証）ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）とする．

　　ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）＝ａnｘ^n　　（ｍｏｄｐ）

　ｇ，ｈの主係数を除くすべての係数はｐの倍数であるから，ｐ^2はｂ0ｃ0＝ａ0を割り切る．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［２］ペロンの基準

　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ａn-1ｘ^n-1＋・・・＋ａ0，ａ0≠０

　ａ）｜ａn-1｜＞１＋｜ａn-2｜＋・・・＋｜ａ0｜または

　ｂ）ａn-1＝０かつａn-2＞１＋｜ａn-3｜＋・・・＋｜ａ0｜

（証）モニック多項式であるから，ｆの根のほとんどすべては絶対値が１に満たないことを証明する．

　条件は｜ｚ｜＝１のとき，

　　｜ａn-2ｚ^n-2＋・・・＋ａ0｛＜｜ａn-1｜−１≦｜ｚ^n＋ａn-1ｚ^n｜または

　　｜ａn-3ｚ^n-3＋・・・＋ａ0｛＜ａn-2−１≦｜ｚ^n＋ａn-2ｚ^n-2｜

を意味している．したがって，円｜ｚ｜＝１のなかに少なくともｎ−１個かｎ−２個の根をもつ．

　ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）とすると，ｇ，ｈは絶対値が１以上となる根をもつから，唯一の可能性は両方とも絶対値が１以上となる根を１個もつ．したがって，ｆは絶対値が１以上となる根を１個もつが，これはありえない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝