【補】判別式

　ｎ次方程式：

　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn＝ａ0Π（ｘ−αi）＝０

が重根をもつためには，判別式：

　　Ｄ（ｆ）＝ａ0^(2n-2)Δ^2＝０

が必要十分条件である．ここで，

　　Δ＝Π（αi−αj）　　(1<=iはα1，・・・，αnの差積を表す．

　差積Δは対称式ではないが，Δ^2は対称式であるから，基本対称式

　　σ1＝α1＋・・・＋αn

　　σ2＝α1α2＋・・・＋αn-1αn

　　σ3＝α1α2α3＋・・・＋αn-2αn-1αn

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　σn＝α1α2α3・・・αn　　　（σkはnＣk個の項をもつ）

の多項式として表されることが証明されている（対称式の基本定理：ウェアリング：１７６２年）．すなわち，

　　ｆ（α1，・・・，αn）＝ｇ（σ1，・・・，σn）

　２次方程式ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の判別式は，

　　Ｄ＝ａ^2（α1−α2）^2＝ａ^2｛（α1＋α2）^2−４α1α2｝

この場合の根と係数の関係は

　　α1＋α2＝−ｂ／ａ，α1α2＝ｃ／ａ

が成り立つから，

　　Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

はｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃの判別式であることはよく知られている．

　３次方程式の判別式は，ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の係数を代入して整理すると，

　Ｄ＝−４ａｃ^3−２７ａ^2ｄ^2＋１８ａｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ

が得られるが，とても憶える気にならないし，また，憶えられる代物でもないであろう．ｆの次数が高い場合，その判別式を計算するのは容易ではない．ちなみに，５次方程式の判別式の項数は５９にもなるという．

　一方，ジラールの標準形であれば，判別式は簡単な形で表される．

　ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝−（４ｐ^3＋２７ｑ^2）

　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝(-1)^(n(n-1)/2){(-n+1)^(n-1)p^n+n^nq^(n-1)}

　また，ｆの次数が高い場合の判別式は，重根をもつことは判定できても，実係数２次方程式のように実根，虚根，重根の判別ができるわけではない．たとえば，実係数３次方程式では，

　（Ｈ1）異なる３つの実数解をもつ

　（Ｈ2）３つの実数解をもつが重根が入っている

　（Ｈ3）１つの実数解と１組の共約な虚数解をもつ

のいずれかであるが，Ｄ＞０ならばＨ1，Ｄ＝０ならばＨ2，Ｄ＜０ならばＨ3である．また，３重解をもつための必要十分条件はＤ＝０，ｂ^2−３ａｃ＝０である．

　４次以上の実係数方程式の場合は

　　Ｄ＝０：重根をもつ

　　Ｄ＞０：偶数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

　　Ｄ＜０：奇数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

であり，Ｄ＝０は重根をもつための必要十分条件であっても，実根，虚根の判別ができるわけではないのである．

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