ふいご予想，折り曲げ可能多面体が（面の形を変えずに）変形しても体積は変わらないことが証明されています（１９９７年，コネリー，ワルツ，サビトフ）．つまり形状の変わる多面体では体積は変化しないのでふいごは風を送れない，ふいごとして使えないという定理です．２次元ではハトメのついた長方形を平行四辺形に変形させると面積は小さくなりますから，この定理は明らかに３次元空間の特別な性質といえるでしょう．

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【１】任意の多面体の体積

　三角形は３辺の長さａ，ｂ，ｃが与えられれば一意に決まりますから，当然面積も決まり，面積はａ，ｂ，ｃで表されるというのがヘロンの公式ですが，残念なことに四角形以上ではこのような公式はありえません．たとえば，すべての辺の長さが１の四角形の面積は０〜１の任意の値をとることができます．

　四面体もの場合は６辺の長さを与えると（それが存在するなら）決まりますから，体積を与える公式もあり，オイラーによって与えられています．面の形が三角形でないならこの種の公式はあり得ません．

　そこで，すべての面を三角形であるとして，辺の長さによる体積公式はあるでしょうか？　このような公式が存在することが証明されています（それらは公式というよりはある代数方程式の根として得られます）．平面三角形の面積，四面体の体積ではΔ^2を含む多項式が現れましたが，さらに複雑な立体にはますます高次の累乗が必要になり，たとえば，三角八面体の体積の公式にはΔ^16が含まれています．これ以上面の数が増えると次数は急速に大きくなります．

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【２】鍛冶屋のふいご

　コネリーは折り曲げ可能多面体の体積はその折り曲げ過程で変化しないという予想を「鍛冶屋のふいご予想」と名付けました．ふいごから風はでないというこの仮説は１９７７年から１９７８年にかけて何人かの数学者によって定式化されたのですが，ほぼ２０年の間，証明も反証も成功しませんでした．

　そして，１９９７年，コネリー，ワルツ，サビトフらによってヘロンの公式の多面体の体積への拡張により証明されています．しかし，これまでのところ高次元の折り曲げ可能多面体に対するふいご予想は証明されていません．

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