判別式を求める方法は大別して２通りあるが，終結式を使う方が簡単であろう．

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［１］差積

　ｎ次方程式：

　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn＝ａ0Π（ｘ−αi）＝０

が重根をもつためには，判別式：

　　Ｄ（ｆ）＝ａ0^(2n-2)Δ^2＝０

が必要十分条件である．ここで，

　　Δ＝Π（αi−αj）　　(1<=i<j<=n)

はα1，・・・，αnの差積を表す．

　差積Δは対称式ではないが，Δ^2は対称式であるから，基本対称式の多項式として表される．

　２次方程式ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の判別式は，

　　Ｄ＝ａ^2（α1−α2）^2＝ａ^2｛（α1＋α2）^2−４α1α2｝

この場合の根と係数の関係は

　　α1＋α2＝−ｂ／ａ，α1α2＝ｃ／ａ

が成り立つから，

　　Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

はｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃの判別式であることはよく知られている．

　３次方程式の判別式は，

　　Ｄ＝（α1−α2）^2（α1−α3）^2（α2−α3）^2

ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の係数を代入して整理すると，

　　Ｄ＝−４ａｃ^3−２７ａ^2ｄ^2＋１８ａｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ

が得られるが，とても憶える気にならないし，また，憶えられる代物でもないであろう．

　４次方程式の判別式は，

　　Ｄ＝（α1−α2）^2（α1−α3）^2（α1−α4）^2（α2−α3）^2（α2−α4）^2（α3−α4）^2

　ｆの次数が高い場合，その判別式を計算するのは容易ではない．ちなみに，５次方程式の判別式の項数は５９にもなるという．

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［２］シルベスターの終結式

　　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn-1ｘ＋ａn

　　ｇ（ｘ）＝ｂ0ｘ^m＋ｂ1ｘ^(m-1)＋・・・＋ｂm-1ｘ＋ｂm

が共通因子をもつための必要十分条件は，ｎ＋ｍ次の行列式：Ｒｅｓ（ｆ，ｇ）

　　｜ａ0　ａ1・・・ａn・・・・・・０｜

　　｜０ 　ａ0　ａ1・・・ａn・・・０ ｜

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・ ｜

　　｜０・・・・・・ａ0　ａ1・・・ａn｜＝０

　　｜ｂ0　ｂ1・・・ｂm・・・・・・０｜

　　｜０ 　ｂ0　ｂ1・・・ｂm・・・０ ｜

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・ ｜

　　｜０・・・・・・ｂ0　ｂ1・・・ｂm｜

　よく知られているようにｆ（ｘ）＝０が重根をもつためにはｆ（ｘ）＝０，ｆ’（ｘ）＝０が共通根をもつことである．したがって，

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝０

は，ｆ（ｘ）＝０が重根をもつための必要十分条件条件である．

（例）ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ，ｆ’（ｘ）＝２ａｘ＋ｂのとき，３次の行列式

　　｜ａ，ｂ，ｃ｜

　　｜２ａ，ｂ，０｜

　　｜０，２ａ，ｂ｜

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝−ａ（ｂ^2−４ａｃ）

このように，Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）に方程式の判別式が出現するのは当然のことである．

（例）ｆ（ｘ）＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ，ｆ’（ｘ）＝３ａｘ^2＋２ｂｘ＋ｃのとき，５次の行列式

　　｜ａ，ｂ，ｃ，ｄ，０｜

　　｜０，ａ，ｂ，ｃ，ｄ｜

　　｜３ａ，２ｂ，ｃ，０，０｜

　　｜０，３ａ，２ｂ，ｃ，０｜

　　｜０，０，３ａ，２ｂ，ｃ｜

　　Ｄ＝−４ａｃ^3−２７ａ^2ｄ^2＋１８ａｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ

（例）ｆ（ｘ）＝ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ，ｆ’（ｘ）＝４ａｘ^3＋３ｂｘ^2＋２ｃｘ＋ｄのとき，７次の行列式

　　｜ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，０，０｜

　　｜０，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，０｜

　　｜０，０，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｜

　　｜４ａ，３ｂ，２ｃ，ｄ，０，０，０｜

　　｜０，４ａ，３ｂ，２ｃ，ｄ，０，０｜

　　｜０，０，４ａ，３ｂ，２ｃ，ｄ，０｜

　　｜０，０，０，４ａ，３ｂ，２ｃ，ｄ｜

（例）５次方程式→９次の行列式

（例）６次方程式→１１次の行列式（判別式の項数は７８６７項にもなるという．

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