【１】オイラーの多面体公式

　正二十面体をイメージして下さい．正二十面体（頂点が１２個，正三角形の面が２０個ある）の各頂点からのびている５本の辺をそれぞれ１／３の長さの所で切り取り，五角錐をはずします．するとそこに１２枚の正五角形が現れ，２０枚の正三角形が２０枚の正六角形になるわけです．

　サッカーボールは正二十面体の切頂形であって，正五角形が１２枚，正六角形が２０枚の合計３２枚の面で構成されています．１２個の正五角形はすべて離れています．

　サッカーボールでは，頂点の数ｖ＝６０，辺の数ｅ＝９０ですから，面の数ｆ＝３２となってオイラーの多面体公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

が成り立っています．しかし，実際に頂点の数ｖや辺の数ｅを数えたら途中で間違うこと必定です．

　そこで，正五角形がｘ面，正六角形がｙ面あるとします．サッカーボールではどの頂点からも３本の辺が出ているので，５ｘ＋６ｙ個の頂点は同じ頂点が重複して３回数えられていることがわかります．したがって，頂点数ｖは

　　３ｖ＝５ｘ＋６ｙ

　同様に，５ｘ＋６ｙ個の辺は同じ辺が重複して２回数えられているので，

　　２ｅ＝５ｘ＋６ｙ

　オイラーの公式に代入すると

　　（５ｘ＋６ｙ）／３−（５ｘ＋６ｙ）／２＋ｘ＋ｙ＝２

より，ｘ＝１２，ｙ＝２０，ｖ＝６０，ｅ＝９０，ｆ＝３２

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【２】原始的３次元１４面体の計量

　原始的３次元１４面体とは切頂八面体のことです．そこで，正方形がｘ面，正六角形がｙ面あるとします．切頂八面体でもどの頂点からも３本の辺が出ているので，４ｘ＋６ｙ個の頂点は同じ頂点が重複して３回数えられていることがわかります．したがって，頂点数ｖは

　　３ｖ＝４ｘ＋６ｙ

　同様に，４ｘ＋６ｙ個の辺は同じ辺が重複して２回数えられているので，

　　２ｅ＝４ｘ＋６ｙ

　オイラーの公式に代入すると

　　（４ｘ＋６ｙ）／３−（４ｘ＋６ｙ）／２＋ｘ＋ｙ＝２

より，ｘ＝６，ｙ＝８，ｖ＝２４，ｅ＝３６，ｆ＝１４

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【３】原始的４次元３０胞体の計量

　原始的４次元３０胞体は原始的３次元１４面体の４次元版である．構成要素は正六角柱(644)（ＨＣと略）と切頂八面体(466)（ＴＯと略）で，ＨＣの六角形面をＴＯのひとつの面に合わせる必要がある．ＴＯの正方形面はすべてＨＣの側面と合わせる．そう考えると次のような接続になる．

(1)ＨＣの六角形面はつねにＴＯの六角形面と合う

(2)ＨＣの六角形面は半数がＴＯの四角形面に，半数が他のＨＣと合う

(3)ＴＯの四角形面はつねにＨＣの四角形面と合う

(4)ＴＯの六角形面は半数がＴＯの六角形面に，半数が他のＴＯと合う

　全体としてＴＯ，ＨＣの胞数をｘ，ｙとすると，これらの接続関係から次の関係式が出る．

　　ｘ＋ｙ＝３０

　　２ｙ＝８ｘ／２（六角形面について）

　　６ｘ＝６ｙ／２（四角形面について）

したがって，ｘ＝１，ｙ＝２０

　面の数は四角形面の延べ数が３０×６（両者とも四角形面は６個ずつ），六角形面の延べ数が８ｘ＋６ｙ＝１２０

　２面ずつ接するから面の実数は四角形面が１８０／２＝９０，六角形面が１２０／２＝６０，合計１５０枚

　辺の延べ数は４×９０＋６×６０＝７２０本であり，１辺の３胞（３面）ずつが会するから，辺の実数は７２０／３＝２４０本

　オイラー・ポアンカレの定理：

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n

すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．頂点数はオイラー・ポアンカレの公式から

　　３０＋２４０−１５０＝１２０個

延べ数が７２０（辺の延べ数と同じ）なので，各頂点に６本ずつの辺が会する．

　これで大体の形がわかったのでまとめると，原始的４次元３０胞体では５組（１０個）の切頂八面体と１０組（２０個）の六角柱からなる３０胞体となる．これはケルビンの立体の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まる．この切頂八面体(466)×１０と正六角柱(644)×２０からなる４次元空間充填図形の諸計量は，

　　Ｖ＝１２０，Ｅ＝２４０，Ｆ＝１５０，Ｃ＝３０

　　１つの頂点の周りに集まる胞数は(466)×２，(644)×２

となる．

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