置換多面体は多面体的組み合わせ論における用語であるが，それとはまったく別の空間充填多面体の立場から，ミンコフスキーが原始的平行多面体としてすでに発見していたものである．

　ミンコフスキーがどのようにしてその空間充填性を証明していたのか，その論文はロシア語で書かれていて，たとえ入手できたとしても理解できないであろうと思うが，純粋に幾何学的な証明だったはずである．

　（その１）の証明は，組み合わせ論から，たとえば，切頂八面体は３次元超平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１０（１辺の長さ√２）とみなし，そのあとはミンコフスキーの数の幾何学を感じさせるような証明法になっている．偶然の一致であろうか？

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　なお，ｎ次元置換多面体のファセット数が２（２^n−１）であることはミンコフスキーも証明していたが，頂点数（ｎ＋１）！，次数ｎ，したがって

　　辺数（ｎ＋１）！ｎ／２，

　　平行な辺の組数ｎ（ｎ＋１）／２

などについては言及していない．

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