有理曲線とは，パラメータ表示できる曲線である．

［１］（ｘ，ｙ）＝（ｔ^2，ｔ^3）とおくと，

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3−ｙ^2＝ｔ^6−ｔ^6＝０　　（有理曲線）

［２］（ｘ，ｙ）＝（ｔ^2−１，ｔ（ｔ^2−１））とおくと，

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3＋ｘ^2−ｙ^2＝ｘ^2（ｘ＋１）−ｙ^2

＝ｔ^2（ｔ^2−１）^2−ｔ^2（ｔ^2−１）^2＝０　　（有理曲線）

［３］（ｘ，ｙ）＝｛（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），２ｔ／（１＋ｔ^2）｝とおくと

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋ｙ^2−１＝０　　（有理曲線）

　さらに，多変数関数

　　ｕ［１，ｎ］（ｘ1，・・・，ｘ4）−ｃ

＝ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4−ｘ1ｘ2−ｘ1ｘ4−ｘ3ｘ4＋１−１

は，ｘ2＝ｔ2ｘ1，ｘ3＝ｔ3ｘ1，ｘ4＝ｔ4ｘ1と置くことによって，特異点が解消される．

　一般に「曲線の特異点」とは曲線のパラメータ表示を与えるものと考えて良いであろう．

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　以前に，パラメータ表示されたルーレット曲線族に対して，陰関数表示を試みたことがあった．たとえば，カージオイドは

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）（ｘ^2＋ｙ^2−２ａｘ）−ａ^2ｙ^2＝０

となる．

　この方法を逆向きに使うと，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3＋ｘ^2−ｙ^2のパラメータ表示が

　　ｘ＝ｔ^2−１，ｙ＝ｔ（ｔ^2−１）

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋ｙ^2−１のパラメータ表示が

　　ｘ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

で得られる．

［１］ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3−ｙ^2

ｆx（ｘ，ｙ）＝３ｘ^2＝０

ｆy（ｘ，ｙ）＝−２ｙ＝０

特異点は（０，０）のみ・・・特異点を通る直線をｙ＝ｔｘとおき，

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3−ｙ^2に代入すると

＝ｘ^3−ｔ^2ｘ^2＝ｘ^2（ｘ−ｔ^2）＝０→ｘ＝ｔ^2，ｙ＝ｔ^3

［２］ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3＋ｘ^2−ｙ^2

ｆx（ｘ，ｙ）＝３ｘ^2＋２ｘ＝０

ｆy（ｘ，ｙ）＝−２ｙ＝０

特異点は（０，０）のみ・・・特異点を通る直線をｙ＝ｔｘとおき，

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3＋ｘ^2−ｙ^2に代入すると

＝ｘ^3＋ｘ^2−ｔ^2ｘ^2＝ｘ^2（ｘ＋１−ｔ^2）＝０→ｘ＝ｔ^2−１，ｙ＝ｔ（ｔ^2−１）

［３］ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋ｙ^2−１

ｆx（ｘ，ｙ）＝２ｘ＝０

ｆy（ｘ，ｙ）＝２ｙ＝０

（０，０）は特異点ではなく，単位円に特異点は存在しない．

（−１，０）は特異点ではないが，（−１，０）を通る直線をｙ＝ｔ（ｘ＋１）とおき，ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋ｙ^2−１に代入すると

＝ｘ^2＋ｔ^2（ｘ＋１）^2−１

＝（ｘ＋１）｛（１＋ｔ^2）ｘ＋（ｔ^2−１）｝

　　ｘ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

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