【１】オイラー積（最初のゼータ）

　リーマンのゼータ関数は，もうひとつの重要な表示をもっています．

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

　Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)をオイラー積表示といい，オイラーが１７３７年に発見したものです．

　　Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)＝Π（１＋ｐ^(-s)＋ｐ^(-2s)＋・・・）

ですが，素因数分解の一意性より

　　Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)＝Σｎ^(-s)

となることが証明されます．

　調和級数（自然数の逆数の和）は∞を使うと，オイラー積表示において，ｓ＝１とおくことにより

　　Π（１−ｐ^(-1)）^(-1)＝1+1/2+1/3+･･･＝ｌｏｇ∞

対数をとることで，

　　Σ１／ｐ＝ｌｏｇ（Σ１／ｎ）＝ｌｏｇｌｏｇ∞

　素数が無限個あるという定性的な結果は，古代ギリシャ時代，ユークリッドによってすでにわかっていたのですが，オイラーの証明はそれを定量的に改良したものになっています．また，オイラー積は素数が無限個存在することを示しているとともに，ζ(s)がRe(s)＞１において零点をもたないことを示していて，ずっと強い意味での別証明になっています．本質的な進歩と考えられるのです．

　ここで，素数をまとめあげたものを「ゼータ」と呼ぶことにすると，オイラー積は歴史上最初のゼータということもできるのです．

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