【１】レムニスケート積分の倍角公式

　レムニスケートサインの加法定理

　　sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))

より，

　　sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

　　sl(3u)=(sl(2u)sl'(u)+sl(u)sl'(2u))/(1+sl^2(2u)sl^2(u))

　　sl(4u)=(sl(3u)sl'(u)+sl(u)sl'(3u))/(1+sl^2(3u)sl^2(u))

　　sl(5u)=(sl(4u)sl'(u)+sl(u)sl'(4u))/(1+sl^2(4u)sl^2(u))

　　sl(6u)=(sl(5u)sl'(u)+sl(u)sl'(5u))/(1+sl^2(5u)sl^2(u))

さらに，

　　sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

　　sl'(2u)=(1-sl^4(2u))^1/2

　　sl'(3u)=(1-sl^4(3u))^1/2

　　sl'(4u)=(1-sl^4(4u))^1/2

　　sl'(5u)=(1-sl^4(5u))^1/2

を用いて，sl(u)の関数として表すと

　　sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))

などが得られる．

　しかし，この方法では方程式に無理式がでてきて，０の周りでの分岐に苦労させられる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】漸化式を用いたレムニスケートサインのｎ倍角公式

　　sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

　　sl(3u)=2sl(u){3-6sl^4(u)-sl^8(u)}/(1+6sl^4(u)-3sl^8(u)}

ｎが奇数のとき

　　sl(nu)=sl(u)Ｐn(sl^4(u))／Ｑn(sl^4(u))

ｎが偶数のとき

　　sl(nu)=sl(u)sl'(u)Ｐn(sl^4(u))／Ｑn(sl^4(u))

　　sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

Ｑn(0)=1とおくことができる．

　ここで，

［１］ｎが偶数のとき，漸化式

Ｑn+1(x)=Ｑn-1(x)｛Ｑn^2(x)＋ｘ（１−ｘ）Ｐn^2(x)｝

Ｐn+1(x)=２（１−ｘ）Ｐn(x)Ｑn(x)Ｑn-1(x)−Ｐn-1(x)｛Ｑn^2(x)＋ｘ（１−ｘ）Ｐn^2(x)｝

［２］ｎが奇数のとき，（１−ｘ）が消え，漸化式

Ｑn+1(x)=Ｑn-1(x)｛Ｑn^2(x)＋ｘＰn^2(x)｝

Ｐn+1(x)=２Ｐn(x)Ｑn(x)Ｑn-1(x)−Ｐn-1(x)｛Ｑn^2(x)＋ｘＰn^2(x)｝

が成り立つ．

　この方法でも，再帰呼び出しをしているため，いささか実行速度が遅いが，方程式に無理式がでてこないので，０の周りでの分岐に苦労させられることはなくなる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝