【６】レムニスケートサインのｎ倍角公式

　　sl(3u)=(sl(2u)sl'(u)+sl(u)sl'(2u))/(1+sl^2(2u)sl^2(u))

　　sl(4u)=(sl(3u)sl'(u)+sl(u)sl'(3u))/(1+sl^2(3u)sl^2(u))

　　sl(5u)=(sl(4u)sl'(u)+sl(u)sl'(4u))/(1+sl^2(4u)sl^2(u))

さらに，

　　sl'(3u)=(1-sl^4(3u))^1/2

　　sl'(4u)=(1-sl^4(4u))^1/2

　　sl'(5u)=(1-sl^4(5u))^1/2

レムニスケート弧長のｎ等分点を求めるには，いくつかの方法が考えられるのですが，もっとも単純素朴な方法はsl(nu)=1として方程式を解いてsl(u)の値を求めることです．とはいえ，sl(nu),n≧3をsl(u)の関数として表すことは大層複雑で，よほど筆算が好きな計算マニアでないかぎり，この計算の解を示すことは難しいと思われます．結論だけ示しますが，３等分点は

sl(u)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421

５等分点は

c=２＋√５＋√（５＋２√５），sl(u)=√(c-√(c^2-1))=0.262082

で与えられ，作図可能であることがわかります．他にも計算上のアドバンテージが得られる方法があるのですが，計算原理としては変わりありません．

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