(n!)^p〜(np)!の誤差について調べてみたい

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スターリングの公式より,ズレは

Γ(pn+1)/Γ(n+1)^p〜(ｐ^p)^n√ｐ(2πｎ)^(1-p)/2

ｐ＝1のとき、ズレは消える

ｐ＝2のとき、ズレは４^n/√πｎ・・・ウォリスの公式Γ(ｎ+1/2）/Γ(ｎ）√ｎ→1

ズレの定数部分

√ｐ(2π)^(1-p)/2=1

ｐ(2π)^(1-p)=1となるｐは

ｐ0=-1/log2π・W(-log2π/2π)＝025369769831983267498642792・・・

したがって、p=p0,p=1に限り,

Γ(pn+1)〜(ｐ^p)^n（ｎ)^(1-p)/2・(n!)^p

が成り立つ

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解が

x=-1/log2π・W(-log2π/2π)

で与えられる場合、

(-xlog2π)exp(-xlog2π)=-log2π/2π

x2πexp(-xlog2π)=1

logx+log2π-xlog2π=0

log{(x2π)/(2π)^x}=0

(x2π)/(2π)^x=1

(x2π)=(2π)^x

(x)=(2π)^x-1 (OK)

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ウォリスがみつけた式は

π/2＝2/1・2/3・4/3・4/5・6/5・6/7・・・=Π2n/(2n-1)・2n/(2n+1)

である。

Γ(ｎ+1/2）/Γ(ｎ）√ｎ→1

は、その別変形（ウォリスの公式の言い換え）である。

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