階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）ｎ^nｅ^(-n)

スターリングの公式では，ｎ＝８のとき相対誤差は約１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

　ところで，ｎ次元正軸体の切断による体積より，不等式

　　２／ｎ！≧（２／ｎ）^n

が成り立つことがわかっています．

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【１】証明

　　ｎ！≦２（ｎ／２）^n

　　ｎ！／ｎ^n≦１／２^n-1

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

であることを証明すればよい．

　左辺に対して，相加平均・相乗平均不等式を適用すると

　　左辺≦（Σｋ／ｎ^2）^n＝（（ｎ＋１）／２ｎ）^n＝１／２^n（１＋１／ｎ）^n

　ここで，（１＋１／ｎ）^nは増加数列で，

　　２≦（１＋１／ｎ）^n≦ｅ

より，

　　左辺≦２／２^n＝１／２^n-1

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【２】雑感

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

であることを証明できた．

　スターリングの公式

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

は面白い公式で，たとえば，

　　ｎ！／ｎ^n　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

として，全体のｎ乗根をとればｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／ｅに近いことがわかるだろう．

　あるいは

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

より，ｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／２に近いといったほうがいいかもしれない．

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