階乗関数は

　　（ｎ＋１）！＝（ｎ＋１）・ｎ！

で再帰的に計算できる．

　　１！＝１

　　２！＝２・１＝２

　　３！＝３・２・１＝６

　　４！＝４・３・２・１＝２４

　オイラーはこれを正の実数にまで拡張できないかと考えた．

　　ｆ（ｘ＋１）＝ｘ・ｆ（ｘ）

　階乗の解析的補間には多くの候補があるが，結果として得られる関数が「よい性質」を持つようにしたい．よい性質として，関数ｌｏｇｆ（ｘ）が凸関数になるという条件を付加すると，以下に述べるガンマ関数が

　　ｆ（ｘ＋１）＝ｘ・ｆ（ｘ）

を満たす唯一の関数であるというのが，ボーア・モレルップの定理である．

まず、ガンマ関数が1729年にオイラーによって定義され、1922年にガンマ関数が階乗の唯一の拡張であることが示された。この一意性定理がボーア・モレルップの定理というわけである。

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【１】ガンマ関数

　　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)e^-tdt x>0

この無限積分をｘの関数とみてガンマ関数Γ(x)といいます．

Γ(1)=∫(0,∞)e^-tdt=1

Γ(1/2)＝∫(0,∞)t^(-1/2)e^-tdt

ここで，t=u^2とおくとint(0,∞)e^-u^2/2du=√π/2（ガウス積分）より

Γ(1/2)＝√π

が得られます．

　オイラーの第２種積分とも呼ばれるガンマ関数Γ（ｘ）には，Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．

　　Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････

　したがって，ｘが正の整数ｎのときには

Γ（ｎ＋１）＝ｎ！が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．階乗の解析的補間をしている関数がガンマ関数なのです．

　ガンマ関数はｘ＞０において，ｘ＝１．４６１３２１・・・のとき，最小値０．８８５６０３・・・をとる．

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