［Ｑ］（１−１／２^2）（１−１／３^2）（１−１／４^2）・・・（１−１／ｎ^2）＞１／２を証明せよ．

［Ａ］１−１／ｋ^2＝（ｋ−１）（ｋ＋１）／ｋ^2より，

（１−１／２^2）（１−１／３^2）（１−１／４^2）・・・（１−１／ｎ^2）＝（ｎ＋１）／２ｎ＞１／２

　したがって，

　　（１−１／２^2）（１−１／３^2）（１−１／４^2）・・・＝１／２

ここで，

　　（１−１／２^2）（１−１／４^2）（１−１／６^2）・・・

　　＝（２−１）（２＋１）／２^2・（４−１）（４＋１）／４^2・（６−１）（６＋１）／６^2・・・

　　＝１／２・３／２・３／４・５／４・５／６・７／６・・・

　　＝２／π　　（ウォリス）

であるから，

　　（１−１／３^2）（１−１／５^2）（１−１／７^2）・・・

　　＝（３−１）（３＋１）／３^2・（５−１）（５＋１）／５^2・（７−１）（７＋１）／７^2・・・

　　＝２／３・４／３・４／５・６／５・６／７・８／７・・・

　　＝π／４

となって，グレゴリー・ライプニッツ級数

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−・・・

と一致する．

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