【７】π^ｅとｅ^π

ランベルトはπが無理数であることをはじめて示した．ランベルトの方法は本質的に連分数展開によるものだった．

π^ｅは代数的数かどうかわかっていないが，ｅ^πは超越数であることはわかっている．

ｅ^π＞π^ｅは

　　ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ

ｇ’（ｘ）＝（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

より，

　　ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　ｅ^π＞π^e

　実際に，ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘのグラフを描いてみればｇ（ｘ）は幅のある最大値をもち，２つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・≒π＋２０

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

であるが，

０＜（ｅ^π−π^e）＜１

を示すことができるだろうか？

［１］ｘ^y−ｙ^x＝１の整数解は（ｘ，ｙ）＝（３，２）だけである（３^2−２^3＝１）．すなわち，８と９だけが唯一連続するベキ乗数である．

［２］ｘ^y−ｙ^x＝０　　（０＜ｘ＜ｙ）

　　２≦ｘ＜ｅ＜ｙ≦４で，（ｘ，ｙ）がともに整数となるのは（ｘ，ｙ）＝（２，４）のみである（４^2−２^4＝０）．

［３］２≦ｘ＜ｅ＜ｙ≦４であるから，（ｘ，ｙ）＝（ｅ，ｅ），したがって，ｅ^e＝１５．１５４２・・・の周囲にｘ^y−ｙ^x＝０となる有理数解が集積する

［４］ｘ＝２〜３，ｙ＝３〜４にはｙ^x−ｘ^y＝１となる有理数解が分布する

と推定される．

［５］ｆ（ｙ）＝ｅ^y−ｙ^e−１の数値解は

　　０，

　　１．８７４２２，

　　３．２１７３６・・・

ｙ＝πは結構ぎりぎりの線なのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝