【２】等差数列の逆数和

　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２　　（メルカトール級数）

　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４　　（グレゴリー・ライプニッツ級数）

　それでは，よく知られたこれらの結果に関連して，

［Ｑ］１−１／４＋１／７−１／１０＋・・・＝？

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［Ａ］　　Σ｛１／（ｎ＋ｐ／ｑ）−１／（ｎ＋１）｝

＝π／２・ｃｏｔｐπ／ｑ＋ｌｏｇ２ｑ−２Σｃｏｓ２ｐｋπ／ｑ・ｌｏｇｓｉｎｋπ／ｑ　　（０＜ｋ＜ｑ／２）

を用いることにする．

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

は

　１／２・Σ｛１／（ｎ＋１／２）−１／（ｎ＋１）｝

　　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

は

　　１／４・Σ｛１／（ｎ＋１／４）−１／（ｎ＋１）｝

　−１／４・Σ｛１／（ｎ＋３／４）−１／（ｎ＋１）｝

　　１−１／４＋１／７−１／１０＋・・・＝？

は

　　１／６・Σ｛１／（ｎ＋１／６）−１／（ｎ＋１）｝

　−１／６・Σ｛１／（ｎ＋４／６）−１／（ｎ＋１）｝

と書くことができる．

［Ａ］π／３√３＋１／３・ｌｏｇ２

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［Ｑ］１−１／５＋１／９−１／１３＋・・・＝？

［Ａ］｛π（√２＋１）-ｌｏｇ１６＋２｛ｌｏｇ（２＋√２）｝｝／８

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