1775年、オイラーは奇素数にの逆数に符号（4n-1型では＋、4n+1型では-）を付けた級数

1/3-1/5+1/7+1/11-1/13-1/17+1/19+1/23-1/29+・・・

を考察し、近似値0.3349816と見積もりました。

4n+1型素数の逆数の和をS,4n-1型素数の逆数の和をTとおけば,

S+T=∞

T=S+(1/3-1/5+1/7+1/11-1/13-1/17+1/19+1/23-1/29+・・・)〜S+0.3349816

4n+1型素数は無限個存在する

S+T=∞は

1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・＝∞の自然な拡張で

Σ1/n＝Π1/(1-1/p)=Πp/(1-1/p)=2/1・3/2・5/4・7/6・11/10・13/12・17/16・19/18・・・＝∞

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Σ1/n^s＝Π1/(1-1/p^s)

ルジャンドルの記号を使うと

S-T=Σ(-1/p)・1/ｐ

と書くことができる

(-1/p)=(-1)^(p-1)/2・・・第１補充則

(2/p)=(-1)^(p-1)^2/8・・・第２補充則

(p/q)(q/p)=(-1)^(p-1)(q-1)/4・・・相互法則

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