素数と無限級数（その１３４）

■素数と無限級数（その１３４）

　オイラーは何年も，オイラー級数（１７３５年）

　　π^2／６＝１＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／５^2＋・・・

にとりつかれて，そこに円周率πが現れることに大いに驚き，感動したのであった．

　グレゴリー・ライプニッツ級数（１６７３年）

　　π／４＝１－１／２＋１／５－１／７＋１／９－１／１１＋・・・

の左辺にも半径１の円の円周の長さπがおかれている．

　この式の右辺は

　　（１＋１／３）^-1（１－１／５）^-1（１＋１／７）^-1（１＋１／１１）^-1（１－１／１３）^-1・・・

と書き直すことができる．

　すなわち，４で割って３余る素数のところに

　　（１＋１／ｐ）^-1

４で割って１余る素数のところに　

　　（１－１／ｐ）^-1

とおくと，

　　４＝２π・１／２・（１＋１／３）（１－１／５）（１＋１／７）（１＋１／１１）（１－１／１３）・・・

　　加藤和也「素数の歌が聞こえる」ぷねうま舎

によると，分子のπは（実数世界での円の長さ）・（２進整数の世界での円の長さ）・（３進整数の世界での円の長さ）・（５進整数の世界での円の長さ）・・・となって，πを素数達が協力しあって生み出している様子を表している

一方，π／４＝１－１／２＋１／５－１／７＋１／９－１／１１＋・・・の分母の４は円ｘ^2＋ｙ^2＝１上に整数点が４個あることを表しているという．（ガウスの整数の中の単数が全部で、1,-1,i,-iの４個であることに対応しているのである）.

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1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・＝∞の自然な拡張で

Σ1/n＝Π1/(1-1/p)=Πp/(1-1/p)=2/1・3/2・5/4・7/6・11/10・13/12・17/16・19/18・・・＝∞

これに倣って