クンマーは1の原始ｐ乗根ζp=exp(2πi/p)=cos(2π/p)+isin(2π/p)をとり、有理数とζpで構成される円分体Q(ζp)において、ζpと整数で作られる複素数を考えました。

x^p+y^p=z^pを円分体Q(ζp)上において分解した

　　(x+y)(x+ζpy)・・・(x+ζp^p-1y)=Z^p

の左辺が一意な素因数分解を与えていないことに気づきました（例えば、ｐ=23のとき一意に分解できません.ｐ＝23のとき47はノルムにはならないので一意に分解できません).そして、素因数分解の一意性を満たす理想数という概念を導きだしました。

円分体Q(ζp)のイデアル全体が整数全体の何倍の規模であるかを表す整数を円分体Q(ζp)の類数と呼びます。そして類数がｐで割り切れない場合を正則素数と呼びます。

クンマーは正則素数の場合にフェルマーの最終定理を証明することに成功したのでした。なお、非正則素数は無限個あることは知られていますが、正則素数は無限個あるかは未解決問題になっています。

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