サイン関数sinπxはすべての整数を零点とするもっとも代表的な関数です。

sinπx/πxを正整数だけを零点に持つ関数と負整数だけを零点に持つ関数の積へと分割するために、負整数だけを零点に持つ関数

G(x)=Π(1+x/n)exp(-x/n)

を用いると

xG(x)G(-x)=sinπx/πx

が得られます。

G(x-1)の零点はx=0とG(X)の零点ですからG(x-1)=xexp(γ(x))G(x)と書くことができて

Γ(x)=1/xexp(γ(x))G(x)とおくと、Γ(x+1)=xΓ(x),Γ(1)=1を満たします。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

これでガンマ関数Γ(x)=exp(-γx)/x・Π(1+x/n)^-1・exp(x/n)が得られ

Γ(x)Γ(1-x)=π/sinπx

の形になりました

これを踏まえて、リーマンは1859年、有名な関数等式

ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)

を導きました

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝