２より大きいすべての偶数は２つの素数の和である（ゴールドバッハ予想）．

　　１００＝３＋９７

　　１００＝１１＋８９

　　１００＝１７＋８３

　　１００＝２９＋７１

　　１００＝４１＋５９

　　１００＝４７＋５３

　ゴールドバッハ予想は２つの異なる予想に分けられる．

［１］偶数ゴールドバッハ予想（強ゴールドバッハ予想）

　　２より大きいすべての偶数（４以上の偶数）は２つの素数の和である．

［２］奇数ゴールドバッハ予想（弱ゴールドバッハ予想）

　　５より大きいすべての奇数（７以上の奇数）は３つの奇素数（２以外の素数）の和である．

　［１］から［２］が導き出せるが，［２］→［１］は成り立たない．偶数ゴールドバッハ予想に関して，陳景潤は１９７３年に，十分大きな偶数は２つの素数の和で表せるか，素数と半素数（２つの素数の積）の和で表せるかのいずれかであることを証明した．強弱どちらの予想もいまだ解決されていない．

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【１】シュニレルマンの定理（１９３０年）

　１より大きいすべての整数は最大ｃ個の素数の和であるような定数ｃが存在する．（この数はシュニレルマンの定数と呼ばれる）

　奇数ゴールドバッハ予想はｃ＝４，偶数ゴールドバッハ予想はｃ＝３というわけである．

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【２】ラマーレの定理（１９９５年）

　すべての偶数は最大６つの素数の和である．（ｃ＝７）

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【３】タオの定理（２０１２年）：査読中

　すべての奇数は最大５つの素数の和である．（ｃ＝６）

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【４】ゴールドバッハ予想の偶数＝素数＋素数を弱めて、証明に成功した研究

[1]偶数＝素数＋(素数または半素数) （陳、1966）

[2]偶数＝素数＋(高々５個の素数の和) （ラマーレ、1995）

[3]偶数＝素数＋素数＋(高々13個の2のベキ和) （ヒースブラウン、シュラーゲプフタ、2002）

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【５】奇数ゴールドバッハ予想

　　５より大きいすべての奇数は３つの素数の和である．

はゴールドバッハ予想の弱い形（弱予想）というものであるが，２０１３年，ペルーの数学者ヘルフゴットにより証明された．

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