［Ｑ］ｘ0＝ｍ，ｍは２より大きい整数とする．このとき

　　　ｘn＝（ｘn-1）^2−２,

の一般項を求めよ．

［Ａ］α＋１／α＝ｍ，α＞１とすると，帰納法より

　　ｘn＝α^(2^n)＋α^-(2^n)

　これはｘn＝［α^(2^n)］と等価である．

　たとえば，ｍ＝３のとき，

　　α＋１／α＝３

　　α^2−３α＋１＝０，α＝（３＋√５）／２＝φ^2

　　ｘn＝［φ^(2^n+1)］

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　α＝２のとき，ｘn＝［α^(2^n)］はフェルマー数になる．

　　α＋１／α＝５／２＝ｍ→ｍ＝５／２とすればよい．

　　α^2−５／２α＋１＝０，

　　２α^2−５α＋２＝０，（α−２）（２α−１）＝０

　ｘ0＝５／２＝２．５

　ｘn＝（ｘn-1）^2−２,

　ｘ1＝２５／４−２＝１７／４＝４．２５

　ｘ2＝２８９／１６−２＝２５７／１６＝１６．０６２５

　ｘ3＝２８９／１６−２＝６６０４９／２５６−２＝６５５３７／２５６

＝２５６．００３９

　一般に，

　　ｘn＝｛２^(2^n+1)＋１｝／２^(2^n)

となるが，これを切り上げるとフェルマー数２^(2^n)＋１となる．

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