よく知られた結果(メルカトール級数)
1-1/2+1/3-1/4+・・・=log2
からはじまって,5の倍数の項のない交代級数
1-1/2+1/3-1/4+1/6-1/7+1/8-1/9+1/11-1/12+1/13-1/14+1/16-1/17+・・・
=(π/5){√(1+2/√5)-√(1-2/√5)}
=(π/5)√(2-2/√5)
=(π/5)/sin(2π/5)
=(2π/5)/2sin(2π/5)
を求めることができる.
そこでは
Σ1/(pk-q)-Σ1/(pk+q)
=1/q-(π/p)/tan(qπ/p)
が主要な役割を担っている.
もうひとつのよく知られた結果(グレゴリー・ライプニッツ級数)
1-1/3+1/5-1/7+・・・=π/4
も
Σ1/(pk-q)-Σ1/(pk+q)
=1/q-(π/p)/tan(qπ/p)
において,p=4,q=1とおくと
左辺=1/3-1/5+1/7-1/9+1/11-1/13+・・・
右辺=1-π/4
として得られることがみてとれるだろう.
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