よく知られた結果（メルカトール級数）

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

からはじまって，５の倍数の項のない交代級数

1-1/2+1/3-1/4+1/6-1/7+1/8-1/9+1/11-1/12+1/13-1/14+1/16-1/17+･･･

＝(π/5){√(1+2/√5)-√(1-2/√5)}

＝(π/5)√(2-2/√5)

＝(π/5)／sin(2π/5)

＝(2π/5)／2sin(2π/5)

を求めることができる．

　そこでは

Σ１／（ｐｋ−ｑ）−Σ１／（ｐｋ＋ｑ）

＝１／ｑ−（π／ｐ）／ｔａｎ（ｑπ／ｐ）

が主要な役割を担っている．

　もうひとつのよく知られた結果（グレゴリー・ライプニッツ級数）

　　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

も

Σ１／（ｐｋ−ｑ）−Σ１／（ｐｋ＋ｑ）

＝１／ｑ−（π／ｐ）／ｔａｎ（ｑπ／ｐ）

において，ｐ＝４，ｑ＝１とおくと

左辺＝１／３−１／５＋１／７−１／９＋１／１１−１／１３＋・・・

右辺＝１−π／４

として得られることがみてとれるだろう．

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