［１］三角数

　Σ２／ｎ（ｎ＋１）＝２Σ１／ｎ（ｎ＋１）＝２Σ（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝２｛（１／１−１／２）＋（１／２−１／３）＋（１／３−１／４）＋・・・｝

＝２

［２］四角数

　Σ１／ｎ^2＝π^2／６

はいいとして，

［３］五角数

　Σ２／ｎ（３ｎ−１）＝３ｌｏｇ３−π／√３

を求めてみたい．

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［１］Σ２／ｎ（３ｎ−１）

　まず，Σ２／ｎ（３ｎ−１）が第０項から始まるように，パラメータをずらすことにする．

　　Σ２／（ｎ＋１）（３ｎ＋２）

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=（ｎ＋１）（３ｎ＋２）／（ｎ＋２）（３ｎ＋５）

＝（ｎ＋１）^2（ｎ＋２／３）／（ｎ＋２）（ｎ＋５／３）・ｘ／（ｎ＋１）

であるから，

　　Σ２／（ｎ＋１）（３ｎ＋２）＝ａ0*3Ｆ2(1,1,2/3;2,5/3;1)

また，ａ0=１より

　　Σ２／（ｎ＋１）（３ｎ＋２）＝3Ｆ2(1,1,2/3;2,5/3;1)

　超幾何級数であると同定されたものの，これでは？？？

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　Σ６／３ｎ（３ｎ−１）

＝６Σ｛１／（３ｎ−１）−１／３ｎ｝

＝６｛（１／２−１／３）＋（１／５−１／６）＋（１／８−１／９）＋・・・｝

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