ζ（2n）はπ^2nの有理関数になる，従って，超越数であることはオイラー以来知られていますが，奇数ベキ級数の和ζ（2n+1）についての類似の関係式は何にひとつわかっていませんでした．

　つい最近までζ（3）は有理数になるかもしれないと思われていたのですが，ところが，１９７８年に，フランスの無名の数学者アペリによってζ（3）の無理数性が示されました．それを補ったのがポールテンです．ζ（3）＝１．２０２０５６・・・に収束するものの，ごく最近までこの値が無理数であることすらわかっていなかったのです．

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【１】ζ（3）の無理数性

　アペリはζ（3）が無理数であることを示すために，

　　ζ（3）＝Σ１／ｎ^3＝5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)

に基づく連分数展開

　　6/ζ（3）＝5-1^6/(117-)2^6/(535-)n^6/(34n^3+51n^2+27n+5)-･･･

を使いました．ζ（3）が無理数ならば，連分数展開は無限列となります．

　アペリが行ったことは，より正確には，漸化式

　　(n+1)^3ｕn+1=(34n^3+51n^2+27n+5)ｕn-n^3ｕn-1

を満たす２つの数列｛ａn｝｛ｂn｝を構成したことです．たとえば，

　　ａn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)^2

　　ａ0＝１，ａ1＝５，ａ2＝７３，ａ4＝１４４５，ａ5＝３３００１，・・・

　ｂnに対する式も，より複雑ではありますが，同様に構成することができます．

　　ｂn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)^2c

　　c=Σ1/m^3+Σ(-1)^(m-1)/2m^3(m,n)(n+m,m)　　

　　ｂ0＝０，ｂ1＝６，ｂ2＝３５１／４，ｂ4＝６２５３１／３６，ｂ5＝１１４２４６９５／２８８，・・・

　この漸化式を満たす任意の数列は，

　　Ｃα^(±n)／ｎ^(3/2)

　　（α＝１７＋１２√２＝（１＋√２）^4はｘ^2−３４ｘ＋１＝０の根）

で指数的に増加（減少）することより，直ちに

　　ｂn／ａn　→　ζ（3）

が示されます．

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　まったく同じ論法を用いて，ζ（2）の無理数性も示すことができます．

　　ζ（2）＝Σ１／ｎ^2＝3Σ1/n^2(2n,n)

　　5/ζ（2）＝3+1^4/(3+)2^4/(25+)n^4/(11n^2+11n+3)+･･･

　　(n+1)^2ｕn+1=(11n^2+11n+3)ｕn+n^2ｕn-1

　　ａn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)

　　ｂn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)^2c

　　c=2Σ(-1)^(m-1)/m^2+Σ(-1)^(n+m-1)/m^2(m,n)(n+m,m)　　

　　α＝（１１＋５√５）／２＝｛（１＋√５）／２｝^5はｘ^2−１１ｘ−１＝０の根（黄金比φを用いると，φ^5＝３φ＋２）

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