一般に

1^k+2^k+・・・+n^k=1/(k+1){Bk+1(n+1)-Bk+1(1)},Bk+1(1)=Bk+1(0)=Bk+1

k=3のとき、

1^3+2^3+・・・+n^3=1/4{B4(n+1)-B4(1)}=(n(n+1)/2)^2

nが十分大ならば

1^k+2^k+・・・+n^k〜n^(k+1)/(k+1)

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ベルヌーイ多項式Bn(x)のフーリエ展開によって

B1(x)=-1/π・Σsin2πnx/n

B2(x)=1/π^2・Σcos2πnx/n^2

一般に

B2m+1(x)=(-1)^(m-1)2(2m+1)!/(2π)^(2m+1)・Σsin2πnx/n^(2m+1)

B2m(x)=(-1)^(m-1)/(2π)^2m・Σcos2πnx/n^2m

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差分:Δf(x)=f(x+1)-f(x)

ΔF(x)=F(x+1)-F(x)=f(x)に対して

和分:Δ^(-1)f(x)=F(x)

Δ^(-1)f(n)=f(0)+f(1)+・・・+f(n-1)+C

[Δ^(-1)f(n)](n,m)=F(n)-F(m)=f(m)+f(m+1)+・・・+f(n-1)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Bn(z+1)-Bn(z)=nz^(n-1)より

Δ^(-1)x^(n-1)=Bn(x)/n

f(x)=x^3のとき、

1^3+2^3+・・・+n^3

=[Δ^(-1)x^3]=1/4[B4(x)](1,n+1)

=1/4{B4(n+1)-B4(1)}=(n(n+1)/2)^2

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Pk＝Σ1/n(n+k)とすると

n→∞のとき

Pk→Hk/k

P1→1,P2→3/4,P3→11/18,・・・　

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このことを積分風に書くと

P3＝Σ1/n(n+3)＝-1/3・[1/x+1/(x+1)+1/(x+2)](1,∞)＝11/18

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このことの裏にはジガンマ関数が見え隠れする

φ(z)=-γ-1/z-Σ{1/(z+n)-1/n}

Δφ(x)=1/x,Δ^(-1)1/x=φ(x)

Δ^(-1)1/(x+a)=φ(x+a),Δ^(-1)1/x^(n+1)=(-1)^n/n!・φ^(n)(x)

φ'(x)=Σ1/(x+n)^2

1+1/2+・・・+1/n=[φ(x)](1,n+1)=φ(n+1)-φ(1)

φ(n+1)=1+1/2+・・・+1/n-γ

Δ^(-1)1/x(x+3)

=1/3・[φ(x)-φ(x+3)]

=-1/3・[Δφ(x)+Δφ(x+1)+Δφ(x+2)]

=-1/3・[1/x+1/(x+1)+1/(x+2)]

Σ1/n(n+3)＝[Δ^(-1)1/x(x+3)]=-1/3・[1/x+1/(x+1)+1/(x+2)](1,∞)＝11/18

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