【３】Σ1/n^2

　　Ｓn＝Σ1/n^2=1/1^2+1/2^2+1/3^2+･･･+1/n^2

が整数にならないことを示すのは，調和数の有理数性の問題よりも簡単です．そもそも１＜Σ1/n^2＜２なのですから整数でないことは自明なのですが，同様にやってみましょう．

（証）２^k≦ｎ^2となる最大の指数をｋ，Ｐをｎ以下のすべての奇数の積とすると，

　　２^(k-1)Ｐ^2Ｓn

　＝２^(k-1)Ｐ^2（１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2）

は，２^(k-1)Ｐ^2／２^k以外の項はすべて整数となる．

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　ζ（２）＝Σ１／ｎ^2 ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

が収束することは１／ｎ^2＜１／（ｎ−１）ｎを用いて，次のようにして示すことができます．

　（証）ｎ次部分和をＰn とすると，

　　Ｐn ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2

＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ

＝１＋（１／１−１／２）＋（１／２−１／３）＋・・・（１／（ｎ−１）−１／ｎ）

＝２−１／ｎ＜２

より，単調増加数列｛Ｐn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

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