1/2=0.5

1/3＝0.33333・・・（周期１）

1/5=0.2

1/7=0.142857・・・（周期６）

1/11=0.090909・・・（周期２）

1/13=0.076923・・・（周期６）　

1/17=0.0588235294117647・・・（周期１６）

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さらに続けると

1/19＝・・・　（周期１８）

1/23＝・・・　（周期２２）

1/29＝・・・　（周期２８）

1/31＝・・・　（周期１５）

1/37＝・・・　（周期３）

1/41＝・・・　（周期５）

1/43＝・・・　（周期２１）

1/47＝・・・　（周期４６）

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ｐを２と５以外の素数とすると、周期は常にｐ-１の約数であることが推測できる。

1をｐで割った余りをｒとする。ｋ桁後にふたたび余りrが出現したとすると、

　　ｒ・10^k＝pd+r

これはｐがｒ・10^k-ｒ＝ｒ（10^k-1)の因数であることと同じ意味である。

したがって、1/ｐの小数展開の周期は（10^k-1)がｐで割り切れる最小のｋである。

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例えば1/7の周期は６である。

10^6-1=999999は7で割り切れるが

10^5-1=99999は7で割り切れない

10^4-1=9999は7で割り切れない

10^3-1=999は7で割り切れない

10^2-1=99は7で割り切れない

10^1-1=9は7で割り切れない

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