任意に与えられたＴ＞１に対して，σをσ＜１＋ｅｘｐ（−２Ｔ）にとれば，

　　Σ（１／ｐ^σ）＞１／２・ｌｏｇ１／（σ−１）　　（０＜σ≦２）

より，Σ（１／ｐ^σ）＞Ｔ

　σを固定しておけば十分大きなすべてのＮに対して

　　Σ（１／ｐ^σ）＞３Ｔ／４

　ｐnまでとｐn+1からに分けると

　　Σ（１／ｐ^σ）＜−１／２・Σ（１／ｐ^σ）＋Σ（１／ｐ^σ）

　　Σ（１／ｐ^σ）＜Σ（１／ｎ^σ）＜Ｎ^(1-σ)／（σ−１）

Ｎ^(1-σ)／（σ−１）＜Ｔ／４となるように，たとえば，

　ｌｏｇＮ＞１／（σ−１）・ｌｏｇ１／４（σ−１）ととる．

このとき

＜　　Σ（１／ｐ^σ）＞−３Ｔ／８＋Ｔ／４＝−Ｔ／８

　Ｔは任意の整数であったから，どんなに大きいｔ1＞ｔ，Ｔ＞１を与えても，１／｜ζ（ｓ）｜＞Ｔとなるようなｔ＞ｔ1と１＜σ≦２が存在する．

　　ｌｉｍｓｕｐ１／｜ζ（１＋ｉｔ）｜＝∞

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝