■素数と無限級数(その61)
Σ(1/p^σ)>1/2・log1/(σ−1) (0<σ≦2)
===================================
(証)オイラー積より,
logζ(σ)=−Σlog(1−p^-σ)
ここで,0<x<1のとき,−xlog(1−x)<x/(1−x)
より,
logζ(σ)<Σ1/log(p^σ−1)<2Σ1/p^σ
また,ζ(σ)>1/(σ−1)より
Σ(1/p^σ)>1/2・log1/(σ−1) (0<σ≦2)
===================================
[雑感]しかし,これではΣ1/p^2>0となって,実効的な下限は得られない.
pnまでとpn+1からに分けると
Σ(1/p^σ)<−1/2・Σ(1/p^σ)+Σ(1/p^σ)
これも同様である.
logζ(σ)<Σ1/log(p^σ−1)<2Σ1/p^σ
Σ1/p^σ>1/2・logζ(σ)
Σ1/p^2>1/2・logζ(2)=log(π/√6)=0.248849・・・これも実効的ではない.
===================================