任意の自然数ｎに対して

［１］ｎが奇数ならば，３ｎ＋１

［２］ｎが偶数ならば，ｎ／２

にする．この工程（ＨＯＴＰＯ手順，half or triple plus one）を繰り返し行うと常に１に到達するというのがコラッツ予想である（１９３０年代）．

　実行されたｎに対しては必ず１で終結している．

６→３→１０→５→１６→８→４→２→１

１０→５→１６→８→４→２→１

１１→３４→１７→５２→２６→１３→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１

　このアルゴリズムは必ず終結するだろうか？（１→４→２→１というループに入るであろうか？）　１９６０年代に，角谷静夫がこの問題を知り，母校のエール大学に広めたが誰も解決することはできなかった．最近証明が発表されたが，その証明は不完全であって，いまのところ未解決である．

　最後が１にならない数が存在することを証明できれば，自然数を結びつける新たなパターンから予想外の展開に繋がる可能性があるのだそうだ．

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1970年代、テラスとエベレットは

すべての自然数→ほとんどすべての自然数

1に行く→元の数より小さくなる

と、コラッツ予想を弱めた。

そして、確率論的な意味で、タオによりコラッツ予想（偶数なら２で割り、奇数なら３倍して１を足すとしう操作を繰り返すと、どんな自然数でも必ず１になる）は「ほとんど」解決された。

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[1],[2]が均等に出現したら、約1.5倍になるので、元の数より大きくなる。それだと１にはならない。そこで

［１］ｎが奇数ならば，(３ｎ＋１)/2・・・(3n+1)は偶数

［２］ｎが偶数ならば，ｎ／２

と考えると約0.75倍になるので、元の数より小さくなる。

さらに、常に１に到達するためには，途中で２^nになる必要がある．　　１６→８→４→２→１

したがって，　　３ｎ＋１＝２^mを満たす解（ｎ，ｍ）をすべて求めよという問題を考えることができる．

そのため、Nが含む素因数２の個数をν2(N)とおく。

ν2(8)=3

ν2(10)=1

ν2(1024)=10

［１］ｎが奇数ならば，(３ｎ＋１)/2^ν2(3n+1)

［２］ｎが偶数ならば，ｎ／２^ν2(3n+1)

Syr(n)=(３ｎ＋１)/2^ν2(3n+1)なる関数を考えれば、コラッツ予想は,

Syr(Syr(・・・Syr(N)・・・))=Syr(N)^n=1

で表すことができる。

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1970年代、テラスとエベレットは

ほとんどすべての奇数Nに対してSyr(N)^n＜Nとなることを証明した。

1990年代、Syr(N)^n＜N^0.7942まで改良されたが、それではまだ１には遠く及ばない。

タオは無限に発散する任意の増加関数をf(N)として

Syr(N)^n＜f(N)

を証明した。

画期的な進展なのか？まだ全然届いていないのか？

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