【１】チェビシェフの偏り

[1]p=2でｐは分岐する。

[2]p-1が4の倍数のとき、ｐは分解する

[3]p-3が4の倍数のとき、ｐは惰性的である

漸近的に素数が分解する確率と惰性的である確率は等しいのですが、チェビシェフの偏りと呼ばれる現象があり、大きいｘまで惰性的素数と分解する素数を数えると、惰性的素数が少し多くなる傾向がある。チェビシェフは十分大きい数まで、４n＋３型の個数の方が4ｎ+1型の個数気づいたのであった。

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[1]p=3でｐは分岐する。

[2]p-1が3の倍数のとき、ｐは分解する

[3]p-2が3の倍数のとき、ｐは惰性的である

アイゼンシュタイン素数でもチェビシェフの偏りがあり、

100万までに分解する素数39175個、惰性的素数39322個

400万までに分解する素数49.9547％、惰性的素数50.0453％

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十分大きな任意のｘに対して、π(x;4n+1)＜π(x;4n+3)が成立するかについて、

[1]1914年、リトルウッドは無限回逆転が起こることを証明した。

x=26863

x=616841

[2]1962年、ナポウスキーとテュランは確率100％＝ほとんどすべてのｘに対して、π(x;4n+1)＜π(x;4n+3)が成立すると予想しましたが、1995年、カゾルフスキーは一般化リーマン予想の仮定下で、π(x;4n+1)＜π(x;4n+3)となるｘの割合が収束しないことを証明し、彼らの予想は否定された。

[3]サルナックとルビンスタインは、一般化リーマン予想と一般化単純零点仮説を仮定することで、チェビシェフにより観察された偏りを証明した。４n＋３型の素数の方が99.6％の確率で4ｎ+1型の素数よりも多いことを示したのである。

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