正多胞体の対称超平面数を求めるのにチェビシェフ多項式を用いることができるのであるが、チェビシェフ多項式はいろいろなシーンでが現れる。

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【２】√ｄの近似値とチェビシュフ多項式

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝１の最小解を（ｘ1，ｙ1），

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝−１の最小解を（ｒ1，ｓ1）

とおくと，漸化式

　　ｃn+2 ＝２ｘ1ｃn+1−ｃn　　　（ｃ＝ｘ，ｙ，ｒ，ｓ）

　　ｃn+2 ＝２ｒ1ｃn+1＋ｃn　　　（ｃ＝ｔ，ｕ）

が成り立つ．

　ところで，ド・モアブルの定理：

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較すると

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n−nＣ2（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・＝（ｃｏｓθのｎ次多項式）＝Ｔn（ｃｏｓθ）

　　ｓｉｎｎθ＝nＣ1（ｃｏｓθ）^n-1ｓｉｎθ−nＣ3（ｃｏｓθ）^n-3（ｓｉｎθ）^3＋・・・＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθのｎ−１次多項式）＝ｓｉｎθ×Ｕn（ｃｏｓθ）

を得る．

　また，

　　ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）−ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）＋ｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ

より，漸化式

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−（ｓｉｎθ）^2Ｕn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝Ｔn-1（ｃｏｓθ）＋ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−Ｔn-2（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）−Ｕn-2（ｃｏｓθ）

が成り立つ．

　ｃｏｓθ＝ｘの多項式で表すと，チェビシュフ多項式は

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

となり，前述の漸化式と一致していることがわかる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　したがって，

　　ｘn＝Ｘn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｙn（ｘ1）

　　ｔn＝Ｖn（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｗn（ｔ1）

とおくと，チェビシュフ多項式を用いて

　　ｘn＝Ｔn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｕn-1（ｘ1）

　　ｔn＝Ｔ~n（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｕ~n-1（ｔ1）

　　ｘn＝Ｔ~2n（ｔ1），ｙn＝ｕ1Ｕ~2n-1（ｔ1）

　　ｒn＝Ｔ~2n-1（ｒ1），ｓn＝ｓ1Ｕ~2n-2（ｒ1）

と表される．

　ただし，Ｔ~n，Ｕ~nはチェビシェフ多項式Ｔn，Ｕnの負の符号を正に変えたものである．以下，チェビシェフ多項式を示しておく．

Ｔ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｔ~0（ｘ）＝１　　　　　　　　

Ｔ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｔ~1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　

Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2−１　　　　 Ｔ~2（ｘ）＝２ｘ^2＋１　　　　

Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3−３ｘ　　　 Ｔ~3（ｘ）＝４ｘ^3＋３ｘ　　　

Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１ Ｔ~4（ｘ）＝８ｘ^4＋８ｘ^2＋１

Ｕ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｕ~0（ｘ）＝１　　　　　　　

Ｕ1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　　 Ｕ~1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　

Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2−１　　　　 Ｕ~2（ｘ）＝４ｘ^2＋１　　　

Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3−４ｘ　　　 Ｕ~3（ｘ）＝８ｘ^3＋４ｘ　　

Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１ Ｕ~4（ｘ）＝１６ｘ^4＋１２ｘ^2＋１

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