カギはその分け方のあった。ここでは原始根に関する周期性を調べてみたい．

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　フェルマーの小定理とよばれるものは，

　　ａ^p＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

　　ａ^p-1＝１　　（ｍｏｄｐ）

すなわち，ｐを素数とするとａをどんな数にとっても余りが１になるというものである．

　ａをランダムに選んでいって，それでも余りが１になればｐは素数の候補となるし，１以外の余りがひとつでも出ればｐは合成数であることになる．

　とくに

　　ａ^p＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

　　ａ^p-1＝１　　（ｍｏｄｐ）

の後者はｚ^n＝１という円分方程式（円周等分方程式）との関係も取りざたされるところである．そこで，・・・

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　ｎを奇素数とする，ｎで割り切れない任意の数ａに対し，

　　ａ，ａ^2，ａ^3，・・・，ａ^n-1　　（ｍｏｄｎ）

を作る．このとき，常に

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立するが，ａのベキの次数がｎ−１に到達する以前に，小さな次数ｋに対して　

　　ａ^k＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立することがある．

　逆に，ｎ−１で初めて

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が起こることもあり，そのような数ａを法ｎに関する原始根とよぶ．すなわち，原始根の周期はｎ−１といえるのである．

　例として，ｎ＝７，ａ＝３の場合を調べてみると

　　３^1＝３，３^2＝２，３^3＝６，３^4＝４，３^5＝５，３^6＝１

→３は法７に関する原始根である．　

積にαが残らないための唯一の方法が3^jのｊが奇数番目と偶数番目に分けて

β＝α＋α^2＋α^4

β~＝α^3＋α^5＋α^6の組み合わせなのであるが、この分け方の背後にある数学的構造の根拠となるのが

「３は法７に関する原始根である」ことである。

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y=x+x^6と置くとき、x^7=1であるから、これを

y1=x+x^-1と書くことにする

すると

y1^2=x^2+2+x^-2

y1^3=x^3+3(x+x^-1)+x^-3=x^3+3+x^-3

円分方程式をx^3+x^2+x+1+x^-1+x^-2+x^-3=0書きかく表せば、

結局、y1^3+y1^2-2y1-1=0

y2=x^2+x^5

y3=x^3+x^4でも同様

あるいは

y1+y2+y3=-1

y1y2+y2y3+y3y1=-2

y1y2y3=1

も確認できるだろう

もとの６次方程式は(x^2-xy1+1)(x^2-xy2+1)(x^2-xy3+1)＝0となる

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