素数ｐと１の原始ｐ乗根αをとり、円分整数を

f(α)＝a0+a1α+・・・+ap-1α^(p-1)

そのノルムを

Nf(α)=f(α)f(α^2)・・・f(α^(p-1))

によって定義する。

1+α+・・・+α^(p-1)=0である。

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p=5のとき、1+α+α^2+α^3+α^4=0、α^5=1

ｆ(α)=α+4

α^(p-1)の係数は常に０に取ることができる。

Nf(α)を計算する。

Nf(α)=f(α)f(α^2)f(α^3)f(α^4)=(α+4)(α^2+4)(α^3+4)(α^4+4)

=(α+4)(α^4+4)(α^2+4)(α^3+4)

=(α^5+4α^4+4α+16)(α^5+4^3+4α^2+16)

=(4α^4+4α+17)(4α^3+4α^2+17)

=16α^7+16α^6+68α^4+16α^4+14α^3+68α+68α^3+68α^2+289

=16α^2+16α+68α^4+16α^4+16α^3+68α+68α^3+68α^2+289 =84α^4+84α^3+84α^2+84α+289

=84(α^4+α^3+α^2+α+1)+205

=205＝5・41

したがって、ｆ(α)=α+4はノルムが４の因子とノルムが41の因子の積である。

=実はノルムが４の因子は単数とα-1の積のみである。なぜならば、p=5であるから、α+4=(α-1)α^2(3α^2+2α+1)

α^2は単数であるからN(3α^2+2α+1)=41,3α^2+2α+1は素である

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