正七角形の場合、７は原始根をもつが、７はフェルマー素数でないので６-1は2のベキ乗ではない。

両方の条件を満たさなければならないが、これはフェルマー素数によってのみ満たされる。

Φ17(z)は有理数係数をもつ多項式には分解できないが、ガウスは2次方程式を繰り返す形に分解できることを示したので、その結果、コンパスと定規で正十七角形を作図できるのである。

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【２】円分多項式の登場

　ｘ^n−１の因数分解が，ｎの約数ｄを使って次のように書かれることを考えます．

　　ｘ−１＝Φ1（ｘ）

　　ｘ^2−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）

　　ｘ^3−１＝Φ1（ｘ）Φ3（ｘ）

　　ｘ^4−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ4（ｘ）

　　ｘ^5−１＝Φ1（ｘ）Φ5（ｘ）

　　ｘ^6−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘ^18−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ18（ｘ）

　　ｘ^36−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ4（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ12（ｘ）Φ18（ｘ）Φ36（ｘ）

　すると

　　Φ1（ｘ）＝ｘ−１

　　Φ2（ｘ）＝ｘ＋１

　　Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１

　　Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１

　　Φ7（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１ｘ−１

　　Φ8（ｘ）＝ｘ^4＋１

　　Φ9（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^3＋１

　　Φ12（ｘ）＝ｘ^4−ｘ^2＋１

　　Φ15（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^7＋ｘ^5−ｘ^4＋ｘ^3−ｘ＋１

　　Φ16（ｘ）＝ｘ^8＋１

　　Φ18（ｘ）＝ｘ^6−ｘ^3＋１

　　Φ24（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^4＋１

　　Φ36（ｘ）＝ｘ^12−ｘ^6＋１

と定まります．

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【３】円分多項式の解

［１］Φ1（ｘ）＝ｘ−１＝０

　　ｘ＝１

［２］Φ2（ｘ）＝ｘ＋１＝０

　　ｘ＝−１

［３］Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１＝０

　　ｘ＝（−１±ｉ√３）／２＝ω，ω^2

［４］Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１＝０

　　ｘ＝±ｉ

［５］Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１＝０

　　ｘ＝（１±ｉ√３）／２

［６］Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

　ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式

　　ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^2でわり，

　　ｘ^2＋ｘ＋１＋１／ｘ＋１／ｘ^2＝０　　（相反方程式）

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）

と変数変換すると２次方程式

　　ｙ^2＋ｙ−１＝０

に帰着され，

　　ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）

　　ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４

が得られる．正三角形。正方形，正六角形に較べ，正５角形はなぜ描くのが難しいのかという問いに対するい答えは円分多項式にあるというわけです．

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【４】円分多項式の解の代入

［１］Φ1（ｘ）＝ｘ−１＝０，ｘ＝１の代入

　　Φn（１）の値として現れる数は１以外は素数である

［２］Φ2（ｘ）＝ｘ＋１＝０，ｘ＝−１の代入

　　Φn（−１）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である

［３］Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１＝０，ｘ＝ω，ω^2の代入

　　Φn（ω）Φn（ω^2）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である

［４］Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１＝０，ｘ＝±ｉ2の代入

　　Φn（ｉ）Φn（−ｘ）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である

［５］Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０，ｘ＝α，β，γ，δの代入

　　Φn（α）Φn（β）Φn（γ）Φn（δ）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である

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【５】円分多項式を相反多項式にする

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／ｎ）

　　Ψ3（ｙ）＝ｙ＋１

　　Ψ4（ｙ）＝ｙ

　　Ψ5（ｙ）＝ｙ^2＋ｙ−１

　　Ψ6（ｙ）＝ｙ−１

　　Ψ7（ｙ）＝ｙ^3＋ｙ^2−２ｙ−１

　　Ψ8（ｙ）＝ｙ^2−２

　　Ψ9（ｙ）＝ｙ^3−３ｙ＋１

　　Ψ10（ｙ）＝ｙ^2−ｙ−１

　　Ψ12（ｙ）＝ｙ^2−３

　　Ψ14（ｙ）＝ｙ^3−ｙ^2−２ｙ＋１

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　さらに，三角関数のｎ倍角の公式を起源とするチェビシェフ多項式Ｔn（ｘ），Ｕn（ｘ）において，２Ｔn（ｘ／２），Ｕn（ｘ／２）はΨd（ｘ）で因数分解される．

　　２Ｔ1（ｘ／２）＝ｘ＝Ψ4（ｘ）

　　２Ｔ2（ｘ／２）＝ｘ^2−２＝Ψ8（ｘ）

　　２Ｔ3（ｘ／２）＝ｘ（ｘ^2−３）＝Ψ4（ｘ）Ψ12（ｘ）

　　２Ｔ4（ｘ／２）＝ｘ^4−４ｘ^2＝２＝Ψ16（ｘ）

　　２Ｔ5（ｘ／２）＝ｘ（ｘ^4−５ｘ^2＋５）＝Ψ4（ｘ）Ψ20（ｘ）

　　Ｕ1（ｘ／２）＝ｘ＝Ψ4（ｘ）

　　Ｕ2（ｘ／２）＝（ｘ＋１）（ｘ−１）＝Ψ3（ｘ）Ψ6（ｘ）

　　Ｕ3（ｘ／２）＝ｘ（ｘ^2−２）＝Ψ4（ｘ）Ψ8（ｘ）

　　Ｕ4（ｘ／２）＝（ｘ^2＋ｘ−１）（ｘ^2−ｘ−１）＝Ψ5（ｘ）Ψ10（ｘ）

　　Ｕ5（ｘ／２）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）（ｘ^2−３）＝Ψ3（ｘ）Ψ4（ｘ）Ψ6（ｘ）Ψ12（ｘ）

［参］小池正夫「実験・発見・数学体験」数学書房

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