［４］循環小数の２分割和

　　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２８５７の長さ６）

の循環節の長さは偶数であることに注目し２分して，それを足してみると

　　１４２＋５８７＝９９９

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

の場合は，

　　０５８８２３５２＋９４１１７６４７＝９９９９９９９９

驚いたことに９が並びます．このように分母が７以上の１０を原始根とする素数で循環節の長さが偶数の場合，２分して足すと９が並ぶのです．

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[補]pqrを３桁の数とする．1000(999-pqr)+pqr=999(1000-pqr)の左辺は６桁の数で下3桁がpqr，上3桁が(999-pqr)，3桁同士を加えると999になるものを表している。右辺は999の倍数であることを示している．147852のように999の倍数であれば，上３桁と下3桁を足せば999になることがわかる．

[補]6桁の数L=xyzwuvについて，Lが999で割り切れることとM=xyz,N=wuv,M+N=999はともに成り立つことを証明してみる．後者が成り立つとするとL=1000M+N=999M+(M+N)=999M+999=999(M+1)より、Lは999で割り切れる．前者が成り立つとき，L=999Aと書けるとするとL=1000A-A=1000(A-1)+999-(A-1)となって，M=A-1,N=999-(a-1),M+N=999となって，後者が成り立つ．

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　　分子は１に限らないことにして

　　３／７＝０．４２８５７１４２８５７１・・・

　　　　（循環節：４２８５７１の長さ６）

の循環節を２分して，それを足してみると４２８＋５７１＝９９９でしたが，循環節を３分して，それを足してみると

　　４２＋８５＋７１＝１９８＝９９×２

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