【１】１０を原始根とする素数

　ａは−１でも平方数でもないものとします．ａが素数ｐに対する原始根とは，ａ^1−１，ａ^2−１，・・・，ａ^p-2−１のどれもｐで割り切れなくて，ａ^p-1−１がｐで割り切れるものを指します．

mod7

10^0=1,10^1=3,10^2=2,10^3=6,10^4=4,10^5=5,10^6=1

mod17

10^0=1,10^1=10,10^2=15,10^3=14,10^4=4,10^5=6,10^6=9,10^7=5,10^8=16,10^9=7

10^10=2,10^11=3,10^12=13,10^13=11,10^14=8,10^15=12,10^16=1

　たとえば，ａ＝１０はｐ＝３の原始根ではなくて，ｐ＝７の原始根です．あるいは同じことですが，

　　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２８５７の長さ６）

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．

　１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

　もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．

　しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．

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【２】アルティンの原始根予想

　　πa（ｘ）／π（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

すなわち，ａを原始根にもつ素数は無限個存在するという予想は，一般化されたリーマン予想を仮定すれば成立することがわかっています（Hooley,1967）．また，アルティンの原始根予想の関数体版はすでに証明されています．

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【３】循環小数の２分割和

　　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２８５７の長さ６）

の循環節の長さは偶数なことに注目し２分して，それを足してみると

　　１４２＋７５８＝９９９

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

の場合は，

　　０５８８２３５２＋９４１１７６４７＝９９９９９９９９

　驚いたことに９が並ぶ．このように分母が７以上の１０を原始根とする素数で循環節の長さが偶数の場合，２分して足すと９が並ぶ．このことを理論的にとりあげたのは，Goodwyn(1801)であるという．

　１０を原始根とする素数でない場合を示しておくと，

　　１／２１＝０．０４７６１９０４７６１９・・・

　　　　（循環節：０４７６１９の長さ６）

　　０４７＋６１９≠９９９

　　１／１３＝０．０７６９２３０７６９２３・・・

　　　　（循環節：０７６９２３の長さ６）

　　０７６＋９２３＝９９９

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