今回のテーマは二平方和問題，四平方和問題，八平方和問題に対するテータ関数の応用である．

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【１】ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2（二平方和問題）

　和の順序や整数の正負も区別すると，２は２つの平方数の和で４通りに表せる．

　　２＝（±１）^2＋（±１）^2

しかし，３は２つの平方数の和では表せない数である．５は

　　５＝（±２）^2＋（±１）^2

　　５＝（±１）^2＋（±２）^2

と書けるから８通りに表せる．そこで

［Ｑ］どんな整数ｎが２つの平方数の和として表されるか？

正の整数ｎを２つの平方数の和で表す方法の総数ｒ2（ｎ）を表す式を求められるか？

　どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？　２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．すなわち，

　　ｐ＝１　　　（ｍｏｄ３）

　　ｑ＝−１　　（ｍｏｄ３）

　　ｍ＝２^aΠｐ^bΠｑ^c

において，すべてのｃが偶数のとき，ｍ＝ｘ^2＋ｙ^2に対する解は存在するのです（必要十分条件）．

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　そして，正の整数ｎの約数で４ｋ＋１の形のものの個数をｄ1（ｎ），４ｋ＋３の形のものの個数をｄ3（ｎ）とすると

　　ｒ2（ｎ）＝４（ｄ1（ｎ）−ｄ3（ｎ））

が成り立ちます．

（証）θ（τ）＝Σｑ^(n^2)

より

　　θ（τ）^2＝Σｒ2（ｎ）ｑ^n，ｑ＝ｅｘｐ（πｉτ）

すなわち，ｒ2（ｎ）の母関数はθ（τ）^2と一致する．

　また，

　　θ（τ）^2＝１＋４Σｑ^n／（１＋ｑ^2n）

　　　　　　　＝１＋４Σ｛ｑ^n／（１−ｑ^4n）−ｑ^3n／（１−ｑ^4n）｝

　　　　　　　＝１＋４Σ（ｄ1（ｎ）ｑ^n−ｄ3（ｎ）ｑ^n）｝

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