【３】ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2

　和の順序や整数の正負も区別すると，２は２つの平方数の和で４通りに表せる．

　　２＝（±１）^2＋（±１）^2

しかし，３は２つの平方数の和では表せない数である．５は

　　５＝（±２）^2＋（±１）^2

　　５＝（±１）^2＋（±２）^2

と書けるから８通りに表せる．そこで

［Ｑ］正の整数ｎを２つの平方数の和で表す方法は，平均して何通りあるか？

［Ａ］たとえば，１，２，・・・，１０の表し方の個数はそれぞれ，４，４，０，４，８，０，０，４，４，８だから，平均は３．６である．１２８までのとき，平均は３．１５６２５となるそうだ．

　平均してπ通りあるのだが，共通点がなにもないようなこんな意外なところになぜπが出てくるのだろうか？　πは２つの異質な対象を密接に関係づけるのだが，πについての別のおもしろい問題「互いに素となる整数」がある．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　１つの数が素数ｐiによって割り切れる確率は１／ｐi，両方の数が同じ素数で割り切れる確率は１／ｐi^2になります．２つの数がどちらもｐiで割り切れない確率は１−１／ｐi^2ですから，互いに素である確率はΠ（１−１／ｐi^2）．

　ここで，

　　Π１／（１−１／ｐi^2）＝Π（１＋１／ｐi^2＋１／ｐi^4＋・・・）＝Σ１／ｎ^2＝ζ（２）

したがって，２つの整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π^2（０．６０８）すなわち，２つの無作為に選んだ整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π^2 （６１％）となります．

　同様にして３つの整数が互いに素である確率は１／ζ（３）＝０．８３２、４つの整数が互いに素である確率は１／ζ（４）＝９０／π^4（０．９２３９）を得ることができます．オイラー積により，１／ζ（ｓ）はｓ個の整数を勝手に選んだとき，同時に割り切ることのできる１でない数が存在しない確率であることがわかります．

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