Φ(x)=Π(1-x^k)と記すことにすると,

[1]分割関数は

1/Φ(x)=Π1/(1-x^k)＝Σp(n)x^n

[2]オイラーの五角数定理は

Φ(x)=Π(1-x^k)=Σ(-1)^nx^{n(3n-1)/2}=1+Σ(-1)^n{x^n(3n-1)/2+x^{n(3n-1)/2+n}}

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[3]ガウスの三角数等式

{Φ(x^2)}^2/Φ(x)=Σx^{n(n+1)/2}=1+x^{n(n+1)/2}

[4]ガウスの四角数等式

{Φ(x)}^2/Φ(x^2)=Σ(-1)^nx^{n^2}=1+2Σ(-1)^nx^{n^2}

[5]ガウスの恒等式

{Φ(x)}^3=Σ(-1)^n(2n+1)x^{n(n+1)/2}=1+2Σ(-1)^nx^{n^2}

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[6]ヤコビの三重積公式

Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^-1q^n-1)=Σz^nq^(n(n+1)/2)

Π(1+zq^n)(1+z^-1q^n-1)=1/Φ(q)・Σz^nq^(n(n+1)/2)

ｚ＝1とおくと

[3]ガウスの三角数等式

{Φ(x^2)}^2/Φ(x)=Σx^{n(n+1)/2}=1+x^{n(n+1)/2}

ｑ→ｑ^2,ｚ→-ｑ＾-1とおくと

[4]ガウスの四角数等式

{Φ(x)}^2/Φ(x^2)=Σ(-1)^nx^{n^2}=1+2Σ(-1)^nx^{n^2}

ｑ→ｑ^3,ｚ→-ｑ＾-2とおくと

[2]オイラーの五角数定理は

Φ(x)=Π(1-x^k)=Σ(-1)^nx^{n(3n-1)/2}=1+Σ(-1)^n{x^n(3n-1)/2+x^{n(3n-1)/2+n}}

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ｑ→ｑ^(k-2),ｚ→-ｑ＾-(k-3)とおくと、ｋ角数が現れてくる。

ｑ→ｑ^4,ｚ→-ｑ＾-3とおくと,六角数等式

Φ(q)Φ(q^4)/Φ(q^2)

ｑ→ｑ^6,ｚ→-ｑ＾-5とおくと,八角数等式

Φ(q){Φ(q^6)}/Φ(q^2)Φ(q^3)

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ｑ→ｑ^2,ｚ→+ｑ＾-1とおくと

[4]もうひとつの四角数等式

{Φ(q^2)}^5/{Φ(q)Φ(q^4)}^2=Σq^{n^2}=1+2Σq^{n^2}

ｑ→ｑ^3,ｚ→+ｑ＾-2とおくと

[2]もうひとつの五角数定理は

{Φ(q^2)}{Φ(q^3)}^2/Φ(q)Φ(q^6)=Σq^{n(3n-1)/2}=1+Σ{q^n(3n-1)/2+q^{n(3n-1)/2+n}}

ｑ→ｑ^4,ｚ→+ｑ＾-3とおくと

{Φ(q^2)}^2/Φ(q)=Σq^{n(2n-1)}=1+Σ{q^n(2n-1)+q^n(2n-1)+2n}

ｑ→ｑ^5,ｚ→+ｑ＾-4とおくと

{Φ(q^2)}^2Φ(q^3)Φ(q^12)/Φ(q)Φ(q^4)Φ(q^6)=Σq^{n(3n-2)}=1+Σ{q^n(3n-2)+q^n(3n-2)+4n}

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