(a)オイラーの五角数定理（１７５０年）

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))　　　n:1~∞，m:-∞~∞，m(3m-1)/2は五角数

　オイラーは

(1)ｎが五角数でない限り，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数と奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数が等しいこと，

(2)ｎが五角数ならば，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数−奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数＝（−１）^k，ｎ＝ｋ（３ｋ＋１）／２

を示したことになる

　(b)ヤコビの三角数定理（１８２９年）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　n:1~∞，m:0~∞，(m^2+m)/2は三角数

はヤコビの三重積公式

　　Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

を使うとあっさり証明できます．

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【１】分割関数のｍ角数等式

［１］三角数等式

　ヤコビの三重積公式

　　Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

において，ｚ＝１とすれば，

　　Σq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^2n)(1+q^(n-1))

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1+q^n)(1-q^2n+2)=Σq^(m(m+1)/2)　　m:-∞~∞

［２］七角数等式

　ｑをすべてｑ^5に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，

　　Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)=Π(1-q^5n)(1-q^5n-1)(1-q^5n-4)

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1-q^5n+1)(1-q^5n+4)(1-q^5n+5)=Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)　　m:-∞~∞

［３］ｍ角数等式

　ｑをすべてｑ^m-2に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，

　　Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)=Π(1-q^(m-2)n)(1-q^(m-2)n-1)(1-q^(m-2)n+1)

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1-q^(m-2)(n+1))(1-q^(m-2)(n+1)-1)(1-q^(m-2)(n+1)+1)=Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)　　m:-∞~∞

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