Σｍ^k-1／（ｅｘｐ（２πｍ）−１）＝Ｂk／２ｋ

において，ｋ＝６，１０，１４，１８とおくと

　　Σｍ^5／（ｅｘｐ（２πｍ）−１）＝１／５０４

　　Σｍ^9／（ｅｘｐ（２πｍ）−１）＝１／２６４

　　Σｍ^13／（ｅｘｐ（２πｍ）−１）＝１／２４

　　Σｍ^17／（ｅｘｐ（２πｍ）−１）＝４３８６７／２８７２８

　これらはラマヌジャンの愛した等式として知られているが，保型性の見事な結晶になっている．

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Ｉk＝∫(0,∞)ｘ^kｄｘ／（ｅｘｐ（２πｘ）−１）

＝∫(0,∞)ｘ^k（Πｅｘｐ（−２πｎｘ））ｄｘ

＝Σ１／（２πｎ）^k+1∫(0,∞)ｙ^kｅｘｐ（−ｙ）ｄｙ

＝ζ（ｋ＋１）Γ（ｋ＋１）／（２π）^k+1

＝Ｂk+1／２（ｋ＋１）

が成り立ちます．

　これを離散化するとさらにおもしろくなります．

Ｓk＝Σ(1,∞)ｎ^k／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）

Ｓk-1＝Σ(1,∞)ｎ^k-1／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）

において，ｋが６以上の偶数で４の倍数ではないとき

Ｓk-1＝Σ(1,∞)ｎ^k-1／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝Ｂ2k／２ｋ

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Σn^9/{exp(2πn)-1}=1/264

　　Σn^13/{exp(2πn)-1}=1/24

　　Σn^17/{exp(2πn)-1}=43867/28728

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　さらに，ラマヌジャンは

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

　　Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)

も証明している．

　Ｉ1＝1/24に対してＳ1＝1/24-1/8πである．有名なラマヌジャンの等式であ不思議なことにｋ＝４ｍ＋１≧５のときはＳk＝Ｉkとなる．

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　ここで，πとωはそれぞれ，

　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）

　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

　ガウスの算術幾何平均

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝π/2／∫(0,π/2)ｄθ/(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)^(1/2)

より

　　Ｍ（√2，１）＝π／ω

また，レルヒの公式

　　Δ(i)＝（ω／π√2）^12＝Γ^24(1/4)／２^24π^18

　　Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4＝３Γ^8(1/4)／６４π^6

もこの兄弟分にあたる．

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