さて，ラマヌジャンの計算の近似値を求めてみることにしましょう．ベルヌーイ数｛Ｂn｝の指数型母関数

　　x/{exp(x)-1}=ΣBn/n!x^n

を使って，あるいは，

　∫(0,∞)＝∫(0,1)＋∫(1,∞)

と分けて厳密に考察すべきなのでしょうが，細かいことは気にせずに計算すると，

　　ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx

において，ｘ＝２πｙとおくと，ｄｘ＝２πｄｙより，

　　∫(0,∞)y^(s-1)/{exp(2πy)-1}dy=ζ(s)Γ(s)/(2π)^s

　これより，

　　Σn^(s-1)/{exp(2πn)-1}　〜　 ζ(s)Γ(s)/(2π)^s

ここで，ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945を代入すると，

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504　〜　1/504

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240　〜　1/240

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π　〜　1/24

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