リーマンのゼータ関数

　　ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s　　（ｎ＝１〜∞）

に対して，フルビッツのゼータ関数は

　　ζ（ｓ，ｘ）＝Σ１／（ｎ＋ｘ）^s，　　（ｎ＝０〜∞）

で定義される．

　　ζ（ｓ，１）＝ζ（ｓ）

　　ζ（ｓ，１／２）＝（２^s−１）ζ（ｓ）

　ここでは，０＜ｘ≦１を考えて解析接続すると，

　　ζ（ｓ，ｘ）＝ｘ^-s＋（１＋ｘ）^-s＋（ζ（ｓ）−１）

−ｓｘ（ζ（ｓ＋１）−１）＋ｓ（ｓ＋１）／２・ｘ^2（ζ（ｓ＋２）−１）

−ｓ（ｓ＋１）（ｓ＋２）／６・ｘ^3（ζ（ｓ＋３）−１）

＋ｓ（ｓ＋１）（ｓ＋２）（ｓ＋３）／２４・ｘ^4（ζ（ｓ＋４）−１）

−・・・

　　ζ（−２，ｘ）＝−ｘ^3／６＋ｘ^2／２−ｘ／６

＝−ｘ／６・（２ｘ−１）（ｘ−１）

０＜ｘ≦１を考えるとｘ＝１／２，ｘ＝１のとき，零点をもつ．

　　ζ（−２，１）＝０　　→ζ（−２）＝０

　　ζ（−２，１／２＝０　→ζ（−２）＝０

　また，ζ（−２，１−ｘ）＝−ζ（−２，ｘ）

ζ（−２，３／４）＝−ζ（−２，１／４）＝−１／６４

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　　Ｌ（ｓ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋１／９^s−１／１１^s＋・・・

は，フルビッツのゼータ関数を用いて

　　Ｌ（ｓ）＝４^-s｛ζ（ｓ，１／４）−ζ（ｓ，３／４）｝

で表される．

　　Ｌ（−２）＝４^2｛ζ（−２，１／４）−ζ（−２，３／４）｝

＝−１６・２／６４＝−１／２

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